python - 使用泰勒级数的平方根

我想用泰勒级数计算平方根。我只是在学习这个系列，我写了一些代码，但我不知道为什么它不起作用，也许我不应该给它i有人能解释一下我做错了什么吗？
我的公式来自http://en.wikipedia.org/wiki/Taylor_series#List_of_Maclaurin_series_of_some_common_functions

from math import sqrt

def factorial(n):
    result = 1
    for i in range(2, n+1):
        result *= i
    return result

def binomical(alpha, n):
    result = 1
    for i in range(0, n):
        result *= (alpha - i)
    return result / factorial(n)

for i in range(1, 10):
    x = sum(binomical(0.5, k) * i ** k for k in range(10))
    print x, sqrt(i)

最佳答案

有两个问题，一个小问题和一个大问题。次要的是扩展是根据(1+x)^alpha而不是x^alpha来编写的，因此您的i**k应该是(i-1)**k。这样做会使你的输出

1.41920471191 1.0
5.234375 1.41421356237

在这里，您可以看到sqrt(1)的答案是如何可疑地接近sqrt(2)的

1.0 1.0
1.41920471191 1.41421356237

这样好多了。不幸的是，剩下的条款仍然不是很好：

5.234375 1.73205080757
155.677841187 2.0
2205.0 2.2360679775
17202.2201691 2.44948974278
91687.28125 2.64575131106
376029.066696 2.82842712475
1273853.0 3.0

将术语总数从10个增加到100个会使情况更糟：

1.0 1.0
1.4143562059 1.41421356237
1.2085299569e+26 1.73205080757
3.68973817323e+43 2.0
9.21065601505e+55 2.2360679775
3.76991761647e+65 2.44948974278
2.67712017747e+73 2.64575131106
1.16004174256e+80 2.82842712475
6.49543428975e+85 3.0

但这是意料之中的，因为正如您链接的页面所解释的，只有当x的绝对值小于1时，才能保证收敛所以我们可以很好地找到小数字的根源：

>>> i = 0.7
>>> sum(binomical(0.5, k) * (i-1) ** k for k in range(10))
0.8366601005565644
>>> i**0.5
0.8366600265340756

我们可以尝试缩小范围来处理其他数字：

>>> i0 = 123.0
>>> i = i0/(20**2)
>>> sum(binomical(0.5, k) * (i-1) ** k for k in range(50))
0.5545268253462641
>>> _*20
11.090536506925282
>>> i0**0.5
11.090536506409418

或者把泰勒级数绕到另一点，等等。
一般来说，泰勒级数有一个radius of convergence--可能是零--在其中他们给出正确的结果。维基百科泰勒系列页面有一个关于“近似和收敛”的章节，它涵盖了这一点。
（P.S.“二项式”中的编号“C”。：^）