模板 - 数学 - 数论 - 线性筛

线性筛质数，可以通过输出ptop之后调整p数组的大小。pm[i]表示i的最小质因子，pk[i]表示含有i的最小质因子的幂。其他的积性函数主要依靠pk的值来求解，比如现在枚举的是t，求出了他的最小质因子的幂pk[t]，那么t/pk[t]与pk[t]显然是互质的。当t==pk[t]时，则t是p[j]的幂次，一般积性函数在质数的幂次都要特殊求解，不过欧拉函数和莫比乌斯函数可以直接从低一级的幂次转移过来。当t!=pk[t]时，直接分解成两个互质的数的乘积。要注意这个算法的空间消耗巨大。

const int MAXN = 1e7;
int p[MAXN + 5], ptop;
int pm[MAXN + 5], pk[MAXN + 5];

void sieve() {
    int n = MAXN;
    p[1] = 1;
    pm[1] = 1;
    pk[1] = 1;
    for(int i = 2; i <= n; i++) {
        if(!pm[i]) {
            p[++ptop] = i;
            pm[i] = i;
            pk[i] = i;
        }
        for(int j = 1; j <= ptop; j++) {
            int t = i * p[j];
            if(t > n)
                break;
            pm[t] = pm[p[j]];
            if(i % p[j]) {
                pk[t] = pk[p[j]];
            } else {
                pk[t] = pk[i] * p[j];
                break;
            }
        }
        //printf("i=%d pm=%d pk=%d\n", i, pm[i], pk[i]);
    }
    //printf("ptop=%d\n",ptop);
}

判断一个数是不是质数只需要判断pm[i]==i。判断一个数是不是质数的幂只需要判断pk[i]==i。当然1是奇异的，特殊处理就可以了。