math - 两个四元数之间的差异

解决了



我正在引擎中制作3D门户系统（例如Portal游戏）。每个门户网站都有其自己的方向，保存在四元数中。要在其中一个门户中渲染虚拟场景，我需要计算两个四元数之间的差异，并将结果用于旋转虚拟场景。

当在左侧墙上创建第一个门户时，在右侧墙上创建第二个门户时，从一个方向到另一个方向的旋转将仅在一个轴上进行，例如，当在地板上创建第一个门户时，第二个门户将被创建在右墙上，从一个到另一个的旋转可能是在两个轴上，这就是问题所在，因为旋转出错了。

我认为存在问题是因为例如X轴和Z轴的方向存储在一个四元数中，因此我需要分别手动将X * Z（或Z * X）相乘，但如何仅使用一个四元数（差异四元数）来实现呢？还是有其他方法可以正确旋转场景？

编辑：

在此图片上，有两个入口P1和P2，箭头显示了它们如何旋转。当我查看P1时，我将看到P2。为了找到需要旋转主场景以使其类似于该图片中的虚拟场景的旋转，我正在执行以下操作：


从四元数P2到四元数P1的差异
将结果沿Y轴旋转180度（门户的UP）
使用结果旋转虚拟场景


上述方法仅在仅在一个轴上发生差异时有效。当一个门户位于地板上或天花板上时，这将不起作用，因为四元差四元轴构建在多个轴上。正如建议的那样，我尝试将P1的四元数乘以P2的四元数，反之，但这是行不通的。



编辑2：

为了找到P2和P1的区别，我在做以下工作：

Quat q1 = P1->getOrientation();
Quat q2 = P2->getOrientation();

Quat diff = Quat::diff(q2, q1);  // q2 * diff = q1 //

这是Quat :: diff函数：

GE::Quat GE::Quat::diff(const Quat &a, const Quat &b)
{
    Quat inv = a;
    inv.inverse();
    return inv * b;
}

逆：

void GE::Quat::inverse()
{
    Quat q = (*this);
    q.conjugate();
    (*this) = q / Quat::dot((*this), (*this));
}

共轭：

void GE::Quat::conjugate()
{
    Quat q;
    q.x = -this->x;
    q.y = -this->y;
    q.z = -this->z;
    q.w = this->w;

    (*this) = q;
}

点积：

float GE::Quat::dot(const Quat &q1, const Quat &q2)
{
    return q1.x*q2.x + q1.y*q2.y + q1.z*q2.z + q1.w*q2.w;
}

运营商*：

const GE::Quat GE::Quat::operator* ( const Quat &q) const
{
    Quat qu;
    qu.x = this->w*q.x + this->x*q.w + this->y*q.z - this->z*q.y;
    qu.y = this->w*q.y + this->y*q.w + this->z*q.x - this->x*q.z;
    qu.z = this->w*q.z + this->z*q.w + this->x*q.y - this->y*q.x;
    qu.w = this->w*q.w - this->x*q.x - this->y*q.y - this->z*q.z;
    return qu;
}

操作员/：

const GE::Quat GE::Quat::operator/ (float s) const
{
    Quat q = (*this);
    return Quat(q.x / s, q.y / s, q.z / s, q.w / s);
}

所有这些东西都有效，因为我已经使用GLM库对其进行了测试

最佳答案

如果要查找诸如diff的四元数diff * q1 == q2，则需要使用乘法逆：

diff * q1 = q2  --->  diff = q2 * inverse(q1)

where:  inverse(q1) = conjugate(q1) / abs(q1)

and:  conjugate( quaternion(re, i, j, k) ) = quaternion(re, -i, -j, -k)

如果四元数是旋转四元数，则它们都应该是单位四元数。这使得查找反函数变得容易：由于abs(q1) = 1，只需对inverse(q1) = conjugate(q1)，i和j分量取反就可以找到您的k。



但是，对于您描述的那种基于场景的几何配置，您实际上可能不想执行上述操作，因为您还需要正确计算平移。

正确执行所有操作的最直接方法是将四元数转换为4x4旋转矩阵，并按适当的顺序将其与4x4转换矩阵相乘，如大多数入门计算机图形学文本中所述。

当然，可以手动进行欧几里得变换，将旋转保持四元数形式，同时将四元数递增地应用于单独的平移向量。但是，这种方法在技术上趋于模糊，并且容易出现编码错误：4x4矩阵形式是常规格式有充分的理由，其中一个重要原因是，以这种方式正确设置似乎更容易。