hdu3625

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题意：

酒店发生一起谋杀案。作为镇上最好的侦探，您应该立即检查酒店的所有N个房间。但是，房间的所有门都是锁着的，钥匙刚锁在房间里，真是个陷阱！您知道每个房间里只有一把钥匙，并且所有可能的分配可能性均等。例如，如果N = 3，则有6种可能的分布，每种分布的概率为1/6。为方便起见，我们将房间编号从1到N，房间1的键编号为键1，房间2的键编号为2，依此类推。
要检查所有房间，您必须用力摧毁一些门。但是您不想破坏太多，因此您采取以下策略：首先，您手中没有钥匙，因此您会随机破坏一扇锁着的门，进入房间，检查并取出其中的钥匙。然后，也许您可​​以使用新钥匙打开另一个房间，检查一下并获得第二把钥匙。重复此操作，直到您无法打开任何新房间。如果仍然有未检查的房间，则必须随机挑选另一扇未打开的门用力摧毁，然后重复上述步骤，直到检查完所有房间为止。
现在只允许您强行摧毁最多K门。更重要的是，房间1中有一个非常重要的人物。不允许您破坏房间1的门，也就是说，检查房间1的唯一方法是使用相应的钥匙打开房间。您想知道最终检查所有房间的概率是什么。（来自一键翻译）

分析

等价于将 $n$ 个元素分成 $k$ 个子集，其中1号元素不能单独成一个子集，$k$ 可以取1至K.

所以，设 $s(n,i)$ 为第一类Stirling数，可行方案为 $\sum_{i=1}^k s(n, i)-s(n-1, i-1)$，总方案数为 $n!$

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long ll;
const int maxn = 20 + 5;
ll fact[maxn], stir[maxn][maxn];

void init()
{
    fact[0] = 1;
    for(int i = 1;i < maxn;i++)  fact[i] = fact[i-1] * i;

    stir[0][0] = 1;
    stir[1][1] = 1;
    for(int i = 2;i < maxn;i++)
        for(int j = 1;j <= i;j++)
            stir[i][j] = stir[i-1][j-1] + (i-1)*stir[i-1][j];
}

int main()
{
    init();
    int T;
    scanf("%d", &T);
    while(T--)
    {
        int n, k;
        scanf("%d%d", &n, &k);
        ll ans = 0;
        for(int i = 1;i <= k; i++)
            ans += stir[n][i] - stir[n-1][i-1];
        printf("%.4f\n", 1.0*ans/fact[n]);
    }
    return 0;
}

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Codejam4214486 A Password Attacker

题目链接

题意：一串长度为 $N$ 的密码恰有 $M$ 种字符组成，求可能的字符串的种数。

分析：把 $n$ 个位置看作 $n$ 个有区别的小球，问题等价于将 $n$ 个有区别的球放到 $m$ 个不同的盒子里，且无空盒的方案数，易知，方案数为 $m!s(n, m)$，其中 $s(n, m)$ 为第二类Stirling数。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long ll;
const int maxn = 100+5;
const ll mod =1000000007;
ll fact[maxn], stir[maxn][maxn];

void init()
{
    fact[0] = 1;
    for(int i = 1;i < maxn;i++)  fact[i] = fact[i-1] * i % mod;

    stir[0][0] = 1;
    stir[1][1] = 1;
    for(int i = 2;i < maxn;i++)
        for(int j = 1;j <= i;j++)
            stir[i][j] = (stir[i-1][j-1] + j*stir[i-1][j]) % mod;
}

int main()
{
    freopen("A-large-practice.in", "r", stdin);
    freopen("a.out", "w", stdout);

    init();
    int T, kase = 0;
    scanf("%d", &T);
    while(T--)
    {
        int n, m;
        scanf("%d%d", &m, &n);
        ll ans = fact[m] * stir[n][m] % mod;
        printf("Case #%d: %lld\n", ++kase, ans);
    }
    return 0;
}

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参考链接：

1. https://blog.csdn.net/doyouseeman/article/details/50876786

2. https://blog.csdn.net/ACdreamers/article/details/8521134