可持续化线段树（主席树）各种变体

（待更新）

简单介绍

博客安利： https://oi-wiki.org/ds/persistent-seg/ ， https://blog.csdn.net/bestFy/article/details/78650360

主席树其实是多颗线段树的效果+前缀和的思想，只不过在空间上有了很大的优化，具体优化思路在于每次更新（每次修改对应一颗新的线段树）只会改变二叉树某一条链上的节点，新的线段树可以继承前一颗线段树的没有改变的节点，只为有了更新的节点新建一个节点。

关于空间问题：由于是动态开点，一颗线段树最会出现2*n-1个结点，n次修改，每次最多影响一条链（log n个结点），最坏情况为2*n-1+nlog n，对于1e5的数据，这个值大概是19e5，oi.wiki上表示过于吝啬空间可能会被莫名其妙的卡掉，最好使用(n<<5)，空间紧张的情况下至少开20倍空间。

静态区间第k小

代码可过hdu，poj，ACwing和洛谷

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define fre freopen("data.in","r",stdin);
#define frew freopen("sol.out","w",stdout);
#define ms(a) memset((a),0,sizeof(a))
#define rep(i, a, b) for(register int i=(a);(i)<(b);++(i))
#define rev(i, a, b) for(register int i=(a);(i)>(b);--(i))
#define erep(i, a, b) for(register int i=(a);(i)<=(b);++(i))
#define erev(i, a, b) for(register int i=(a);(i)>=(b);--(i))
#define all(x) (x).begin(),(x).end()
#define bug(x) cout<<x<<endl;
#define pb push_back
#define lson l,m,i<<1
#define rson m+1,r,i<<1|1
#define reg register
#define pc putchar('\n')
typedef long long LL;
const int inf = (0x7f7f7f7f);

inline void sf(int &x) {
    x = 0;
    int w = 0;
    char ch = 0;
    while (!isdigit(ch)) {
        w |= ch == '-';
        ch = getchar();
    }
    while (isdigit(ch)) x = (x << 3) + (x << 1) + (ch ^ 48), ch = getchar();
    x = (w ? -x : x);
}

inline void pf(int x) {
    if (x < 0) putchar('-'), x = -x;
    if (x > 9) pf(x / 10);
    putchar(x % 10 + '0');
}

const int maxn =1e5 + 5;
int n,m,len;
int a[maxn],d[maxn];
//l,r记录该节点左右子树的根节点的下标编号，v记录该区间的值
struct node{int l,r,v;}t[maxn*22];

//T[i]记录第i颗线段树的根节点
int T[maxn];

inline void discretize(){
    sort(d+1,d+1+n);
    len=unique(d+1,d+n+1)-d-1;
    erep(i,1,n) {
        a[i] = lower_bound(d + 1, d + 1 + len, a[i]) - d - 1 + 1;//从1开始
        //cout<<a[i]<<' ';
    }
}
//cnt给每一个节点一个编号，便于通过下标直接访问
int cnt=0;

int build(int l,int r){//动态建树，一颗空树
    //p为节点下标编号
    int p=++cnt,mid=l+r >>1;
    if(l<r){
        t[p].l=build(l,mid);
        t[p].r=build(mid+1,r);
    }
    t[p].v=0;
    return p;
}

int update(int pre,int l,int r,int& x){
    int p=++cnt,mid= l+r>>1;
    //继承前一颗线段树的左右子树
    t[p].l=t[pre].l,t[p].r=t[pre].r,t[p].v=t[pre].v+1;
    if(l<r){
        //根据更新点的位置决定修改左子树还是右子树
        if(x<=mid)t[p].l=update(t[pre].l,l,mid,x);
        else t[p].r=update(t[pre].r,mid+1,r,x);
    }
    return p;
}

int query(int x,int y,int k,int l,int r){
    if(l==r)return l;
    //sum使用前缀和思想，得到区间线段树
    int sum=t[t[y].l].v-t[t[x].l].v,mid=l+r>>1;
    if(k<=sum)return query(t[x].l,t[y].l,k,l,mid);
    else return query(t[x].r,t[y].r,k-sum,mid+1,r);
}

int main() {
    sf(n);sf(m);
    erep(i,1,n)sf(a[i]),d[i]=a[i];

    discretize();

    T[0]=build(1,len);//新建一颗空树
    erep(i,1,n)T[i]=update(T[i-1],1,len,a[i]);//每次修改对应一颗新的线段树

    while(m--){
        int l,r,k;
        sf(l);sf(r);sf(k);
        printf("%d\n",d[query(T[l-1],T[r],k,1,len)]);//记得离散回原来的数
    }
    return 0;
}

动态区间第k小