这段代码可以给出常用的4类正交多项式的具体表达式，后续将给出课自定义的任意正交多项式代码
%%正交多项式
%%此函数包括勒让德正交多项式，切比雪夫正交多项式（两类），拉盖尔正交多项式，埃尔米特正交多项式，输入项数应从1开始
%%n是多项式的项数，n>=0,type是类型，分为Legendre、Chebyshev、Laguerre、Hermite，对应其正交多项式
function OP = Orthogonal_polynomial(type)
sym type;
if strcmp(type,'Legendre') == 1
disp('目前输出为勒让德多项式');
disp('定义区间为：');[-1 1]
N = input('请输入勒让德多项式的项数：');
L = Legendre(N);
OP = simplify(L(N));
elseif strcmp(type,'Chebyshev') == 1
disp('目前输出为切比雪夫多项式');
disp('定义区间为：');[-1 1]
disp('在这里，规定第一类切比雪夫多项式是以1/sqrt(1-x^2)作为权函数，第二类切比雪夫多项式以sqrt(1-x^2)作为权函数得到的');
class = input('请输入需要输出第几类切比雪夫多项式（输入1,2）即可：');
N = input('请输入切比雪夫多项式的项数：');
Che = Chebyshve(N,class);
OP = simplify(Che(N));
elseif strcmp(type,'Laguerre') == 1
disp('目前输出为拉盖尔多项式');
disp('定义区间为：');[0 +inf]
N = input('请输入拉盖尔多项式的项数：');
La = Laguerre(N);
OP = simplify(La(N));
elseif strcmp(type,'Hermite') == 1
disp('目前输出为埃尔米特多项式');
disp('定义区间为：');[-inf +inf]
N = input('请输入埃尔米特多项式的项数：');
H = Hermite(N);
OP = simplify(H(N));
end
%%勒让德多项式
function L = Legendre(N)
x = sym('x');
for i = 1:N
Leg(i) = diff((x^2-1)^(i-1),i-1)/(factorial(i-1)*2^(i-1));
end
L = Leg;
end
%%切比雪夫多项式
function C = Chebyshve(n,class)
x = sym('x');
if class == 1
T = string([1 x]);
T = sym(T);
if n <=2
C = T(1:n);
else
for i = 2:n
T(i+1) = 2*x*T(i)-T(i-1);
end
C = T(1:n);
end
elseif class ==2
U = string([1]);
U = sym(U);
U = [U 2*x];
if n <=2
C = U(1:n);
else
for i = 2:n
U(i+1) = 2*x*U(i)-U(i-1);
end
C = U(1:n);
end
end
end
%%埃尔米特多项式
function H = Hermite(N)
x = sym('x');
for i = 1:N
He(i) = (-1)^N*exp(x^2)*diff(exp(-x^2),(i-1));
end
H = simplify(He);
end
%%拉盖尔多项式
function La = Laguerre(N)
x = sym('x');
for i = 1:N
Lag(i) = exp(x)*diff(x^(i-1)*exp(-x),(i-1));
end
La = simplify(Lag);
end
%%阶乘函数
function F = factorial(n)
if n == 0
F = 1;
else
F = factorial(n-1)*n;
end
end
end
%%正交多项式%%此函数包括勒让德正交多项式，切比雪夫正交多项式（两类），拉盖尔正交多项式，埃尔米特正交多项式，输入项数应从1开始%%n是多项式的项数，n>=0,type是类型，分为Legendre、Chebyshev、Laguerre、Hermite，对应其正交多项式function OP = Orthogonal_polynomial(type)sym type;if strcmp(type,'Legendre') == 1 disp('目前输出为勒让德多项式'); disp('定义区间为：');[-1 1] N = input('请输入勒让德多项式的项数：'); L = Legendre(N); OP = simplify(L(N));elseif strcmp(type,'Chebyshev') == 1 disp('目前输出为切比雪夫多项式'); disp('定义区间为：');[-1 1] disp('在这里，规定第一类切比雪夫多项式是以1/sqrt(1-x^2)作为权函数，第二类切比雪夫多项式以sqrt(1-x^2)作为权函数得到的'); class = input('请输入需要输出第几类切比雪夫多项式（输入1,2）即可：'); N = input('请输入切比雪夫多项式的项数：'); Che = Chebyshve(N,class); OP = simplify(Che(N));elseif strcmp(type,'Laguerre') == 1 disp('目前输出为拉盖尔多项式'); disp('定义区间为：');[0 +inf] N = input('请输入拉盖尔多项式的项数：'); La = Laguerre(N); OP = simplify(La(N));elseif strcmp(type,'Hermite') == 1 disp('目前输出为埃尔米特多项式'); disp('定义区间为：');[-inf +inf] N = input('请输入埃尔米特多项式的项数：'); H = Hermite(N); OP = simplify(H(N));end%%勒让德多项式 function L = Legendre(N) x = sym('x'); for i = 1:N Leg(i) = diff((x^2-1)^(i-1),i-1)/(factorial(i-1)*2^(i-1)); end L = Leg; end%%切比雪夫多项式 function C = Chebyshve(n,class) x = sym('x'); if class == 1 T = string([1 x]); T = sym(T); if n <=2 C = T(1:n); else for i = 2:n T(i+1) = 2*x*T(i)-T(i-1); end C = T(1:n); end elseif class ==2 U = string([1]); U = sym(U); U = [U 2*x]; if n <=2 C = U(1:n); else for i = 2:n U(i+1) = 2*x*U(i)-U(i-1); end C = U(1:n); end end end%%埃尔米特多项式 function H = Hermite(N) x = sym('x'); for i = 1:N He(i) = (-1)^N*exp(x^2)*diff(exp(-x^2),(i-1)); end H = simplify(He); end%%拉盖尔多项式 function La = Laguerre(N) x = sym('x'); for i = 1:N Lag(i) = exp(x)*diff(x^(i-1)*exp(-x),(i-1)); end La = simplify(Lag); end%%阶乘函数 function F = factorial(n) if n == 0 F = 1; else F = factorial(n-1)*n; end endend