trigonometry - 用任意点找出两条平行线之间的最短距离

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我需要编写一种可靠的方法来检索以下情况的答案...

给定线段AB和任意点C，我如何在与穿过点C的AB平行的线上找到最接近A的点？ （上面提到的可靠是指算法能够找到D，同时允许A，B和C的坐标完全任意且不可预测。我已经遇到了很多解决方案，我无法适应所有可能的情况，可悲的是...）

对于下图中显示的数据，我如何可靠地找到D的x，y坐标？

A = <425, 473>
B = <584, 533>
C = <371, 401>
D = <???, ???>

知道AB和CD是平行的，这显然意味着斜率是相同的。

我尝试了许多不同的公式都无济于事，并且已经为此工作了几周。我很沮丧！

最佳答案

这是一个最小化的问题。

通常，N维空间中两个点（A和B）之间的欧几里得距离为
Dist（A，B）= sqrt（（A1-B1）^ 2 + ... +（AN-BN）^ 2）

如果需要找到空间曲线A（t）（在某个N维空间中嵌入的一维对象）与点B之间的最小距离，则需要求解以下方程式：

d Dist(A(t),B) / dt = 0    // (this is straightforward calculus: we're at either a minimum or maximum when the rate of change is 0)

然后针对距离函数测试一组根（t1，t2等），以找出哪一个根的D值最小。



现在找到以y = mx + b形式通过C的平行线的方程式：

m = (Ay - By)/(Ax-Bx)
b = Cy - mCx

让我们以空间曲线形式将其编写为，然后将其插入第1部分的公式中：

Dist(D(t),A) = sqrt((t-Ax)^2 + (m*t+b-Ay)^2)

取我们的导数：

d Dist(D(t),A)/ dt = d sqrt((t-Ax)^2 + (m*t+b-Ay)^2) / dt

= (t + (m^2)*t - Ax + m*b - m*Ay)/sqrt(t^2 + (m^2)t^2 - 2*t*Ax + 2*m*t*b - 2*m*t*Ay + (Ax)^2 + (Ay)^2 + b^2 - 2*b*Ay )
= ((1+m^2)*t - Ax + m*b - m*Ay)/sqrt((1+m^2)*(t^2)  + 2*t*(m*b - Ax - m*Ay) + (Ax)^2 + (Ay)^2 + b^2 - 2*b*Ay )

将此值设置为0并求解t会得到：
t =（Ax-m * b + m * Ay）/（1 + m ^ 2）
作为唯一的根（您可以通过替换回自己并验证是否一切都按需取消来自己检查）。

将t的这个值重新插入到我们的空间曲线中会得到以下结果：
D =

然后，如果您想要用A，B，C表示明确的解，或者如果只想数值解，则可以将其作为三步过程进行计算，然后插入m和b的表达式：

m = (Ay - By)/(Ax-Bx)
b = Cy - mCx
D=<(Ax-m*b+m*Ay)/(1+m^2),b+m*(Ax-m*b+m*Ay)/(1+m^2)>

这对于所有具有平行直线的情况都是有效的。将其实现为数字（而不是解析）代码时，请注意以下几点：如果这些线垂直放置，则计算m =（Ay-By）/（Ax-Bx）将除以0，这将使您的代码不起作用。您可以按以下方式放入安全阀：

if( Ax == Bx) {
    D = <Cx,Ay>
} else {
    // normal calculation here
}

对于认真的数值工作，您可能希望根据公差而不是由于舍入误差和所有有趣的东西（即abs（Ax-Bx）

关于trigonometry - 用任意点找出两条平行线之间的最短距离，我们在Stack Overflow上找到一个类似的问题：https://stackoverflow.com/questions/15848421/