拉普拉斯分布的随机数

一、功能

产生拉普拉斯分布的随机数。

二、方法简介

1、产生随机变量的组合法

将分布函数\(F(x)\)分解为若干个较为简单的子分布函数的线性组合
\[F(x)=\sum_{i=1}^{K}p_{i}F_{i}(x)\]
其中 $ p_{i}> 0  (\forall i) $ ，且 $ \sum_{i=1}^{K}p_{i}=1 $ ，\(F(x)\)是分布函数。

定理 若随机变量\(\xi \sim s\)离散分布\(\left \{ p_{i} \right \}\)，即\(P(\xi =i)=p_{i}\)，并且\(z \sim F_{\xi }(x)\)，取\(z=x\)，则\(z \sim F(x) = \sum_{i=1}^{K}p_{i}F_{i}(x)\)

证明 \(z\)的分布函数为
\[P(z \leqslant t) = P((z \leqslant t) \cap \bigcup_{i=1}^{K}( \xi = i)) \\= \sum_{i=1}^{K}P(z \leqslant t, \xi =i) \\= \sum_{i=1}^{K}P(\xi = i)P(z \leqslant t \mid \xi =i) \\= \sum_{i=1}^{K}p_{i}F_{i}(t)=F(t)\]

定理证毕。

根据此定理，我们给出产生随机数的组合算法如下：

1. 产生一个正随机数\(\xi\)，使得\(P(\xi = i) = p_{i} \ (i = 1,2,...,K)\)；
2. 在\(\xi = i\)时，产生具有分布函数\(F_{i}(x)\)的随机变量\(x\)。

该算法中首先以概率\(p_{i}\)选择子分布函数\(F_{i}(x)\)，然后取\(F_{i}(x)\)的随机数作为\(F(x)\)的随机数。

2、产生拉普拉斯分布随机数的方法

拉普拉斯分布的概率密度函数为
\[f(x) = \frac{1}{2\beta }e^{-\frac{\left | x \right |}{\beta }}\]
Laplace分布的均值为0，方差为\(2\beta ^{2}\)。拉普拉斯分布也称为双指数分布。

根据上述的组合算法，产生拉普拉斯分布随机数的方法为：

1. 产生均匀分布的随机数\(u_{1}\)和\(u_{2}\)，即\(u_{1},u_{2} \sim U(0,1)\)；
2. 计算\(x = \left\{\begin{matrix} -\beta \ ln(1 - u_{1}) & u_{1} \leqslant 0.5 \\ \beta \ ln(u_{2}) & u_{2} > 0.5 \end{matrix}\right.\)

三、使用说明

使用C语言实现产生拉普拉斯分布随机数的方法：

#include "math.h"
#include "uniform.c"

double laplace(double beta, long int *s)
{
    u1 = uniform(0.0, 1.0, s);
    u2 = uniform(0.0, 1.0, s);
    if(u1 <= 0.5)
        x = -beta * log(1.0 - u2);
    else
        x = beta * log(u2);
    return(x);
}

uniform.c文件参见均匀分布的随机数