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一、什么是优先队列

优先队列（Priority Queue）：特殊的队列，取出元素的顺序是依照元素的优先权（关键字）大小，而不是元素进入队列的先后顺序。

问题是：如何组织优先队列？我们可以通过以下三种方法：

一般的数组、链表
有序的数组或者链表
二叉搜索树？AVL树？

若采用数组或链表实现优先队列，我们可以看看它们在队列操作时的时间复杂度：

数组：
- 插入：元素总是插入尾部——\(\Theta(1)\)
- 删除：查找最大（或最小）关键字——\(\Theta(n)\)
  - 从数组中删除时需要移动元素——\(O(n)\)
链表：
- 插入：元素总是插入链表的头部——\(\Theta(1)\)
- 删除：查找最大（或最小）关键字——\(\Theta(n)\)
  - 删除结点——\(\Theta(1)\)
有序数组：
- 插入：找到合适的位置——\(O(n)或O(log_2n)\)
  - 移动元素并插入——\(O(n)\)
- 删除：删除最后一个元素——\(\Theta(1)\)
有序链表：
- 插入：找到合适的位置——\(O(n)\)
  - 插入元素——\(\Theta(1)\)
- 删除：删除首元素或最后元素——\(\Theta(1)\)

从上，我们可以看出，如果使用数组或链表的方式实现优先队列，在插入或者删除中，总会有一个操作方法的时间复杂度为O(n)，因此我们是否可以考虑采用二叉树存储结构。

二、什么是堆

对于优先队列，如果采用二叉树存储结构，我们应该考虑一下两个问题：

是否可以采用二叉搜索树？
如果采用二叉树结构，应该更加关注插入还是删除
1. 树结点顺序怎么安排？
2. 树结构怎样？

处于对上述问题的考虑，我们可以使用完全二叉树表示优先队列，如下图所示：

从上图我们可以看出堆的两个特性：

结构性：用数组表示的完全二叉树；

有序性：任一结点的关键字是其子树所有结点的最大值（或最小值）

最大堆（MaxHeap），也称大顶堆：最大值
最小堆（MinHeap），也称小顶堆：最小值

下图为最大堆图片：

下图为最小堆图片：

从上述两幅图中，我们可以看出：从根节点到任意结点路径上结点序列的有序性！

下图为不是堆的图片：

三、堆的抽象数据类型描述

类型名称：最大堆（MaxHeap）

数据对象集：完全二叉树，每个结点的元素值不小于其子结点的元素值

操作集：最大堆\(H\in{MaxHeap}\)，元素\(item\in{ElementType}\)，主要操作有：

MaxHeap Create(int MaxSize)：创建一个空的最大堆；
Boolean IsFull(MaxHeap H)：判断最大堆H是否已满；
Insert(MaxHeap H, ElementType item)：将元素item插入最大堆H；
Boolean IsEmpty(MaxHeap H)：判断最大堆H是否为空；
ElementType DeleteMax(MaxHeap H)：返回H中最大元素（高优先级）。

四、最大堆的操作

4.1 最大堆的创建

/* c语言实现 */

typdef struct HeapStruct *MaxHeap;
struct HeapStruct{
  ElementType *Elements; // 存储堆元素的数组
  int Size; // 堆的当前元素个数
  int Capacity; // 堆的最大容量
}

MaxHeap Create(int MaxSize)
{
  // 创建容量为MaxSize的空的最大堆
  MaxHeap H = malloc(sizeof(struct HeapStruct));
  H->Elements = malloc((MaxSize + 1) * sizeof(ElementType));
  H->Size = 0;
  H->Capacity = MaxSize;
  H->Elements[0] = MaxData; // 定义“哨兵”为大于堆中所有可能元素的值，便于以后更快操作  // 把MaxData换成小于堆中所有元素的MinData，同样适用于创建最小堆
  return H;
}

4.2 最大堆的插入

算法：将新增结点插入到从其父结点到根结点的有序序列中

/* c语言实现 */

void Insert(MaxHeap H, ElementType item)
{
  // 将元素item插入最大堆H，其中H-Elements[0]已经定义为哨兵
  int i;
  if (IsFull(H)) {
    printf("最大堆已满");
    return ;
  }
  i = ++H->Size; // i指向插入后堆中的最后一个元素的位置
  for (; H->Elements[i/2] < item; i /= 2)
    H->Elements[i] = H->Elements[i/2]; // 向下过滤结点
  H->Elements[i] = item; // 将item插入
}

该插入操作的时间复杂度为：T(N) = O(log N)

其中H->Element[0]是哨兵元素，它不小于堆中的最大元素，控制顺环结束，如下图所示：

4.3 最大堆的删除

取出根节点（最大值）元素，同时删除堆的一个结点。

/* c语言实现 */

ElementType DeleteMax(MaxHeap H)
{
  // 从最大堆H中取出键值为最大的元素，并删除一个结点
  int Parent, Child;
  ElementType MaxItem, temp;
  if (IsEmpty(H)){
    printf("最大堆已为空");
    return;
  }
  MaxItem = H->Elements[1]; // 取出根结点最大值
  // 用最大堆中最后一个元素从根结点开始向上过滤下层结点
  temp = H->Elements[H->Size--];
  for (Parent = 1; Parent * 2 <= H->Size; Parent=Child) {
    Child = Parent * 2;
    if ((Child != H->Size) &&
        (H->Elements[Child] < H->Elements[Child+1]))
      Child ++; // Child指向左右子结点的较大者
    if (temp >= H->Elements[Child]) break;
    else // 移动temp元素到下一层
      H->Elements[Parent] = H->Elements[Child];
  }
  H->Elements[Parent] = temp;
  return MaxItem;
}

该删除操作的时间复杂度为：T(N) = O(log N)

4.4 最大堆的建立

建立最大堆：将已经存在的N个元素按最大堆的要求存放在一个一维数组中

方法1：通过插入操作，将N个元素一个个相继插入到一个初始为空的堆中去，其时间代价最大为O(N logN)

方法2：通过下述2个步骤，在线性时间复杂度下建立最大堆

将N个元素按输入顺序存入，先满足完全二叉树的结构特性
调整各结点位置，以满足最大堆的有序特性

最大堆的建立如下图所示：

通过上图的演示，我们可以去测算最大堆建立时的线性复杂度为下图所示：