我正在使用有限差分计算存储在3d数组a（n1，n2，n3）中的函数a（x，y，z）的一阶和二阶导数。在此，边界处的功能值为零。这是Fortran中的代码：
implicit none
integer i1,i2,i3
integer, parameter :: n1 = 33
integer, parameter :: n2 = 33
integer, parameter :: n3 = 32
real*8 pi, a(n1,n2,n3), a2(n1,n2,n3), z(n3),x(n1),y(n2),h,a1(n1,n2,n3)
real*8 num(n1,n2,n3),deno(n1,n2,n3),diff(n1,n2,1),A0,dx,dy
pi=3.14159265358979323846d0
dx=2.0d0*pi/(n1-1)
dy=4.0d0*pi/(n2-1)
do i1=1,n1
x(i1)=-pi+(i1-1)*dx
do i2=1,n2
y(i2)=-2.0d0*pi+(i2-1)*dy
do i3=1,n3
z(i3)=(i3-1)*2.0d0*pi/n3
a(i1,i2,1)= dcos(x(i1)/2.0d0) * dcos(y(i2)/4.0d0) !input array
a1(i1,i2,1)= - 0.25d0*dcos(x(i1)/2.0d0) * dsin(y(i2)/4.0d0) !analytical expression of first order y-derivative
enddo
enddo
enddo
do i1=1,n1
do i2=1,n2
write(20,*)x(i1),y(i2),a(i1,i2,1)
enddo
enddo
call d1y(n1,n2,n3,a,a2)
do i1=1,n1
do i2=1,n2
num(i1,i2,1)=(a2(i1,i2,1)-a1(i1,i2,1)) !numerator of error calculation
deno(i1,i2,1)=a2(i1,i2,1) !denomenator of error calculation
if (dabs(deno(i1,i2,1)) .lt. 1e-10)deno(i1,i2,1)=1.0d0
diff(i1,i2,1)=dabs(num(i1,i2,1))/dabs(deno(i1,i2,1)) !relative error in 1st order derivative calculation
write(21,*)x(i1),y(i2),a(i1,i2,1),a2(i1,i2,1),diff(i1,i2,1),a1(i1,i2,1)
write(21,*)
enddo
enddo
end
subroutine d1y(n1,n2,n3,a,a2)
implicit none
integer n1, n2, n3, i1, i2, i3
real*8 pi, a(n1,n2,n3), a2(n1,n2,n3), z(n3),x(n1),y(n2),h,a1(n1,n2,n3)
pi=3.14159265358979323846d0
h=4.0d0*pi/(n2-1)
do i1=1,n1
do i3=1,n3
do i2=1,n2
if(i2 .eq. 1)then
a2(i1,i2,i3)=( -3.0d0*a(i1,i2,i3) + 4.0d0*a(i1,i2+1,i3) - a(i1,i2+2,i3) )/ (2.0d0*h)
else if(i2 .eq. n2)then
a2(i1,i2,i3)=( 3.0d0*a(i1,i2,i3) - 4.0d0*a(i1,i2-1,i3) + a(i1,i2-2,i3) )/ (2.0d0*h)
else
a2(i1,i2,i3)=( a(i1,i2+1,i3) - a(i1,i2-1,i3) )/ (2.0d0*h)
endif
enddo
enddo
enddo
end subroutine
我的输入函数
a(i1,i2,1)= dcos(x(i1)/2.0d0) * dcos(y(i2)/4.0d0)，因此是示例输入数据（对于17 * 17 * 16号网格） -3.1415926535897931 -6.2831853071795862 3.7493994566546440E-033
-3.1415926535897931 -5.4977871437821380 1.1945836920083898E-017
-3.1415926535897931 -4.7123889803846897 2.3432602026631496E-017
-3.1415926535897931 -3.9269908169872414 3.4018865378450254E-017
-3.1415926535897931 -3.1415926535897931 4.3297802811774670E-017
-3.1415926535897931 -2.3561944901923448 5.0912829964730140E-017
-3.1415926535897931 -1.5707963267948966 5.6571305614385013E-017
-3.1415926535897931 -0.78539816339744828 6.0055777714832775E-017
-3.1415926535897931 0.0000000000000000 6.1232339957367660E-017
-3.1415926535897931 0.78539816339744828 6.0055777714832775E-017
-3.1415926535897931 1.5707963267948966 5.6571305614385013E-017
-3.1415926535897931 2.3561944901923439 5.0912829964730146E-017
-3.1415926535897931 3.1415926535897931 4.3297802811774670E-017
-3.1415926535897931 3.9269908169872423 3.4018865378450242E-017
-3.1415926535897931 4.7123889803846897 2.3432602026631496E-017
-3.1415926535897931 5.4977871437821371 1.1945836920083910E-017
-3.1415926535897931 6.2831853071795862 3.7493994566546440E-033
-2.7488935718910690 -6.2831853071795862 1.1945836920083898E-017
-2.7488935718910690 -5.4977871437821380 3.8060233744356645E-002
-2.7488935718910690 -4.7123889803846897 7.4657834050342639E-002
-2.7488935718910690 -3.9269908169872414 0.10838637566236967
-2.7488935718910690 -3.1415926535897931 0.13794968964147156
-2.7488935718910690 -2.3561944901923448 0.16221167441072892
-2.7488935718910690 -1.5707963267948966 0.18023995550173702
-2.7488935718910690 -0.78539816339744828 0.19134171618254495
-2.7488935718910690 0.0000000000000000 0.19509032201612833
-2.7488935718910690 0.78539816339744828 0.19134171618254495
-2.7488935718910690 1.5707963267948966 0.18023995550173702
-2.7488935718910690 2.3561944901923439 0.16221167441072895
-2.7488935718910690 3.1415926535897931 0.13794968964147156
-2.7488935718910690 3.9269908169872423 0.10838637566236962
-2.7488935718910690 4.7123889803846897 7.4657834050342639E-002
-2.7488935718910690 5.4977871437821371 3.8060233744356686E-002
-2.7488935718910690 6.2831853071795862 1.1945836920083898E-017
-2.3561944901923448 -6.2831853071795862 2.3432602026631496E-017
-2.3561944901923448 -5.4977871437821380 7.4657834050342639E-002
-2.3561944901923448 -4.7123889803846897 0.14644660940672630
-2.3561944901923448 -3.9269908169872414 0.21260752369181418
-2.3561944901923448 -3.1415926535897931 0.27059805007309856
-2.3561944901923448 -2.3561944901923448 0.31818964514320852
-2.3561944901923448 -1.5707963267948966 0.35355339059327384
-2.3561944901923448 -0.78539816339744828 0.37533027751786530
-2.3561944901923448 0.0000000000000000 0.38268343236508984
-2.3561944901923448 0.78539816339744828 0.37533027751786530
-2.3561944901923448 1.5707963267948966 0.35355339059327384
-2.3561944901923448 2.3561944901923439 0.31818964514320858
-2.3561944901923448 3.1415926535897931 0.27059805007309856
-2.3561944901923448 3.9269908169872423 0.21260752369181410
-2.3561944901923448 4.7123889803846897 0.14644660940672630
-2.3561944901923448 5.4977871437821371 7.4657834050342722E-002
-2.3561944901923448 6.2831853071795862 2.3432602026631496E-017
-1.9634954084936207 -6.2831853071795862 3.4018865378450254E-017
-1.9634954084936207 -5.4977871437821380 0.10838637566236967
-1.9634954084936207 -4.7123889803846897 0.21260752369181418
-1.9634954084936207 -3.9269908169872414 0.30865828381745519
-1.9634954084936207 -3.1415926535897931 0.39284747919355117
-1.9634954084936207 -2.3561944901923448 0.46193976625564342
-1.9634954084936207 -1.5707963267948966 0.51327996715933677
-1.9634954084936207 -0.78539816339744828 0.54489510677581865
-1.9634954084936207 0.0000000000000000 0.55557023301960229
-1.9634954084936207 0.78539816339744828 0.54489510677581865
-1.9634954084936207 1.5707963267948966 0.51327996715933677
-1.9634954084936207 2.3561944901923439 0.46193976625564348
-1.9634954084936207 3.1415926535897931 0.39284747919355117
-1.9634954084936207 3.9269908169872423 0.30865828381745508
-1.9634954084936207 4.7123889803846897 0.21260752369181418
-1.9634954084936207 5.4977871437821371 0.10838637566236978
-1.9634954084936207 6.2831853071795862 3.4018865378450254E-017
-1.5707963267948966 -6.2831853071795862 4.3297802811774670E-017
-1.5707963267948966 -5.4977871437821380 0.13794968964147156
-1.5707963267948966 -4.7123889803846897 0.27059805007309856
-1.5707963267948966 -3.9269908169872414 0.39284747919355117
-1.5707963267948966 -3.1415926535897931 0.50000000000000011
-1.5707963267948966 -2.3561944901923448 0.58793780120967942
-1.5707963267948966 -1.5707963267948966 0.65328148243818829
-1.5707963267948966 -0.78539816339744828 0.69351992266107376
-1.5707963267948966 0.0000000000000000 0.70710678118654757
-1.5707963267948966 0.78539816339744828 0.69351992266107376
-1.5707963267948966 1.5707963267948966 0.65328148243818829
-1.5707963267948966 2.3561944901923439 0.58793780120967942
-1.5707963267948966 3.1415926535897931 0.50000000000000011
-1.5707963267948966 3.9269908169872423 0.39284747919355101
-1.5707963267948966 4.7123889803846897 0.27059805007309856
-1.5707963267948966 5.4977871437821371 0.13794968964147170
-1.5707963267948966 6.2831853071795862 4.3297802811774670E-017
-1.1780972450961724 -6.2831853071795862 5.0912829964730140E-017
-1.1780972450961724 -5.4977871437821380 0.16221167441072892
-1.1780972450961724 -4.7123889803846897 0.31818964514320852
-1.1780972450961724 -3.9269908169872414 0.46193976625564342
-1.1780972450961724 -3.1415926535897931 0.58793780120967942
-1.1780972450961724 -2.3561944901923448 0.69134171618254492
-1.1780972450961724 -1.5707963267948966 0.76817775671141630
-1.1780972450961724 -0.78539816339744828 0.81549315684891710
-1.1780972450961724 0.0000000000000000 0.83146961230254524
-1.1780972450961724 0.78539816339744828 0.81549315684891710
-1.1780972450961724 1.5707963267948966 0.76817775671141630
-1.1780972450961724 2.3561944901923439 0.69134171618254503
-1.1780972450961724 3.1415926535897931 0.58793780120967942
-1.1780972450961724 3.9269908169872423 0.46193976625564326
-1.1780972450961724 4.7123889803846897 0.31818964514320852
-1.1780972450961724 5.4977871437821371 0.16221167441072909
-1.1780972450961724 6.2831853071795862 5.0912829964730140E-017
-0.78539816339744828 -6.2831853071795862 5.6571305614385013E-017
-0.78539816339744828 -5.4977871437821380 0.18023995550173702
-0.78539816339744828 -4.7123889803846897 0.35355339059327384
-0.78539816339744828 -3.9269908169872414 0.51327996715933677
-0.78539816339744828 -3.1415926535897931 0.65328148243818829
-0.78539816339744828 -2.3561944901923448 0.76817775671141630
-0.78539816339744828 -1.5707963267948966 0.85355339059327373
-0.78539816339744828 -0.78539816339744828 0.90612744635288778
-0.78539816339744828 0.0000000000000000 0.92387953251128674
-0.78539816339744828 0.78539816339744828 0.90612744635288778
-0.78539816339744828 1.5707963267948966 0.85355339059327373
-0.78539816339744828 2.3561944901923439 0.76817775671141642
-0.78539816339744828 3.1415926535897931 0.65328148243818829
-0.78539816339744828 3.9269908169872423 0.51327996715933655
-0.78539816339744828 4.7123889803846897 0.35355339059327384
-0.78539816339744828 5.4977871437821371 0.18023995550173721
-0.78539816339744828 6.2831853071795862 5.6571305614385013E-017
-0.39269908169872414 -6.2831853071795862 6.0055777714832775E-017
-0.39269908169872414 -5.4977871437821380 0.19134171618254495
-0.39269908169872414 -4.7123889803846897 0.37533027751786530
-0.39269908169872414 -3.9269908169872414 0.54489510677581865
-0.39269908169872414 -3.1415926535897931 0.69351992266107376
-0.39269908169872414 -2.3561944901923448 0.81549315684891710
-0.39269908169872414 -1.5707963267948966 0.90612744635288778
-0.39269908169872414 -0.78539816339744828 0.96193976625564337
-0.39269908169872414 0.0000000000000000 0.98078528040323043
-0.39269908169872414 0.78539816339744828 0.96193976625564337
-0.39269908169872414 1.5707963267948966 0.90612744635288778
-0.39269908169872414 2.3561944901923439 0.81549315684891721
-0.39269908169872414 3.1415926535897931 0.69351992266107376
-0.39269908169872414 3.9269908169872423 0.54489510677581843
-0.39269908169872414 4.7123889803846897 0.37533027751786530
-0.39269908169872414 5.4977871437821371 0.19134171618254514
-0.39269908169872414 6.2831853071795862 6.0055777714832775E-017
0.0000000000000000 -6.2831853071795862 6.1232339957367660E-017
0.0000000000000000 -5.4977871437821380 0.19509032201612833
0.0000000000000000 -4.7123889803846897 0.38268343236508984
0.0000000000000000 -3.9269908169872414 0.55557023301960229
0.0000000000000000 -3.1415926535897931 0.70710678118654757
0.0000000000000000 -2.3561944901923448 0.83146961230254524
0.0000000000000000 -1.5707963267948966 0.92387953251128674
0.0000000000000000 -0.78539816339744828 0.98078528040323043
0.0000000000000000 0.0000000000000000 1.0000000000000000
0.0000000000000000 0.78539816339744828 0.98078528040323043
0.0000000000000000 1.5707963267948966 0.92387953251128674
0.0000000000000000 2.3561944901923439 0.83146961230254535
0.0000000000000000 3.1415926535897931 0.70710678118654757
0.0000000000000000 3.9269908169872423 0.55557023301960207
0.0000000000000000 4.7123889803846897 0.38268343236508984
0.0000000000000000 5.4977871437821371 0.19509032201612853
0.0000000000000000 6.2831853071795862 6.1232339957367660E-017
0.39269908169872414 -6.2831853071795862 6.0055777714832775E-017
0.39269908169872414 -5.4977871437821380 0.19134171618254495
0.39269908169872414 -4.7123889803846897 0.37533027751786530
0.39269908169872414 -3.9269908169872414 0.54489510677581865
0.39269908169872414 -3.1415926535897931 0.69351992266107376
0.39269908169872414 -2.3561944901923448 0.81549315684891710
0.39269908169872414 -1.5707963267948966 0.90612744635288778
0.39269908169872414 -0.78539816339744828 0.96193976625564337
0.39269908169872414 0.0000000000000000 0.98078528040323043
0.39269908169872414 0.78539816339744828 0.96193976625564337
0.39269908169872414 1.5707963267948966 0.90612744635288778
0.39269908169872414 2.3561944901923439 0.81549315684891721
0.39269908169872414 3.1415926535897931 0.69351992266107376
0.39269908169872414 3.9269908169872423 0.54489510677581843
0.39269908169872414 4.7123889803846897 0.37533027751786530
0.39269908169872414 5.4977871437821371 0.19134171618254514
0.39269908169872414 6.2831853071795862 6.0055777714832775E-017
0.78539816339744828 -6.2831853071795862 5.6571305614385013E-017
0.78539816339744828 -5.4977871437821380 0.18023995550173702
0.78539816339744828 -4.7123889803846897 0.35355339059327384
0.78539816339744828 -3.9269908169872414 0.51327996715933677
0.78539816339744828 -3.1415926535897931 0.65328148243818829
0.78539816339744828 -2.3561944901923448 0.76817775671141630
0.78539816339744828 -1.5707963267948966 0.85355339059327373
0.78539816339744828 -0.78539816339744828 0.90612744635288778
0.78539816339744828 0.0000000000000000 0.92387953251128674
0.78539816339744828 0.78539816339744828 0.90612744635288778
0.78539816339744828 1.5707963267948966 0.85355339059327373
0.78539816339744828 2.3561944901923439 0.76817775671141642
0.78539816339744828 3.1415926535897931 0.65328148243818829
0.78539816339744828 3.9269908169872423 0.51327996715933655
0.78539816339744828 4.7123889803846897 0.35355339059327384
0.78539816339744828 5.4977871437821371 0.18023995550173721
0.78539816339744828 6.2831853071795862 5.6571305614385013E-017
1.1780972450961720 -6.2831853071795862 5.0912829964730146E-017
1.1780972450961720 -5.4977871437821380 0.16221167441072895
1.1780972450961720 -4.7123889803846897 0.31818964514320858
1.1780972450961720 -3.9269908169872414 0.46193976625564348
1.1780972450961720 -3.1415926535897931 0.58793780120967942
1.1780972450961720 -2.3561944901923448 0.69134171618254503
1.1780972450961720 -1.5707963267948966 0.76817775671141642
1.1780972450961720 -0.78539816339744828 0.81549315684891721
1.1780972450961720 0.0000000000000000 0.83146961230254535
1.1780972450961720 0.78539816339744828 0.81549315684891721
1.1780972450961720 1.5707963267948966 0.76817775671141642
1.1780972450961720 2.3561944901923439 0.69134171618254503
1.1780972450961720 3.1415926535897931 0.58793780120967942
1.1780972450961720 3.9269908169872423 0.46193976625564331
1.1780972450961720 4.7123889803846897 0.31818964514320858
1.1780972450961720 5.4977871437821371 0.16221167441072912
1.1780972450961720 6.2831853071795862 5.0912829964730146E-017
1.5707963267948966 -6.2831853071795862 4.3297802811774670E-017
1.5707963267948966 -5.4977871437821380 0.13794968964147156
1.5707963267948966 -4.7123889803846897 0.27059805007309856
1.5707963267948966 -3.9269908169872414 0.39284747919355117
1.5707963267948966 -3.1415926535897931 0.50000000000000011
1.5707963267948966 -2.3561944901923448 0.58793780120967942
1.5707963267948966 -1.5707963267948966 0.65328148243818829
1.5707963267948966 -0.78539816339744828 0.69351992266107376
1.5707963267948966 0.0000000000000000 0.70710678118654757
1.5707963267948966 0.78539816339744828 0.69351992266107376
1.5707963267948966 1.5707963267948966 0.65328148243818829
1.5707963267948966 2.3561944901923439 0.58793780120967942
1.5707963267948966 3.1415926535897931 0.50000000000000011
1.5707963267948966 3.9269908169872423 0.39284747919355101
1.5707963267948966 4.7123889803846897 0.27059805007309856
1.5707963267948966 5.4977871437821371 0.13794968964147170
1.5707963267948966 6.2831853071795862 4.3297802811774670E-017
1.9634954084936211 -6.2831853071795862 3.4018865378450242E-017
1.9634954084936211 -5.4977871437821380 0.10838637566236962
1.9634954084936211 -4.7123889803846897 0.21260752369181410
1.9634954084936211 -3.9269908169872414 0.30865828381745508
1.9634954084936211 -3.1415926535897931 0.39284747919355101
1.9634954084936211 -2.3561944901923448 0.46193976625564326
1.9634954084936211 -1.5707963267948966 0.51327996715933655
1.9634954084936211 -0.78539816339744828 0.54489510677581843
1.9634954084936211 0.0000000000000000 0.55557023301960207
1.9634954084936211 0.78539816339744828 0.54489510677581843
1.9634954084936211 1.5707963267948966 0.51327996715933655
1.9634954084936211 2.3561944901923439 0.46193976625564331
1.9634954084936211 3.1415926535897931 0.39284747919355101
1.9634954084936211 3.9269908169872423 0.30865828381745491
1.9634954084936211 4.7123889803846897 0.21260752369181410
1.9634954084936211 5.4977871437821371 0.10838637566236972
1.9634954084936211 6.2831853071795862 3.4018865378450242E-017
2.3561944901923448 -6.2831853071795862 2.3432602026631496E-017
2.3561944901923448 -5.4977871437821380 7.4657834050342639E-002
2.3561944901923448 -4.7123889803846897 0.14644660940672630
2.3561944901923448 -3.9269908169872414 0.21260752369181418
2.3561944901923448 -3.1415926535897931 0.27059805007309856
2.3561944901923448 -2.3561944901923448 0.31818964514320852
2.3561944901923448 -1.5707963267948966 0.35355339059327384
2.3561944901923448 -0.78539816339744828 0.37533027751786530
2.3561944901923448 0.0000000000000000 0.38268343236508984
2.3561944901923448 0.78539816339744828 0.37533027751786530
2.3561944901923448 1.5707963267948966 0.35355339059327384
2.3561944901923448 2.3561944901923439 0.31818964514320858
2.3561944901923448 3.1415926535897931 0.27059805007309856
2.3561944901923448 3.9269908169872423 0.21260752369181410
2.3561944901923448 4.7123889803846897 0.14644660940672630
2.3561944901923448 5.4977871437821371 7.4657834050342722E-002
2.3561944901923448 6.2831853071795862 2.3432602026631496E-017
2.7488935718910685 -6.2831853071795862 1.1945836920083910E-017
2.7488935718910685 -5.4977871437821380 3.8060233744356686E-002
2.7488935718910685 -4.7123889803846897 7.4657834050342722E-002
2.7488935718910685 -3.9269908169872414 0.10838637566236978
2.7488935718910685 -3.1415926535897931 0.13794968964147170
2.7488935718910685 -2.3561944901923448 0.16221167441072909
2.7488935718910685 -1.5707963267948966 0.18023995550173721
2.7488935718910685 -0.78539816339744828 0.19134171618254514
2.7488935718910685 0.0000000000000000 0.19509032201612853
2.7488935718910685 0.78539816339744828 0.19134171618254514
2.7488935718910685 1.5707963267948966 0.18023995550173721
2.7488935718910685 2.3561944901923439 0.16221167441072912
2.7488935718910685 3.1415926535897931 0.13794968964147170
2.7488935718910685 3.9269908169872423 0.10838637566236972
2.7488935718910685 4.7123889803846897 7.4657834050342722E-002
2.7488935718910685 5.4977871437821371 3.8060233744356721E-002
2.7488935718910685 6.2831853071795862 1.1945836920083910E-017
3.1415926535897931 -6.2831853071795862 3.7493994566546440E-033
3.1415926535897931 -5.4977871437821380 1.1945836920083898E-017
3.1415926535897931 -4.7123889803846897 2.3432602026631496E-017
3.1415926535897931 -3.9269908169872414 3.4018865378450254E-017
3.1415926535897931 -3.1415926535897931 4.3297802811774670E-017
3.1415926535897931 -2.3561944901923448 5.0912829964730140E-017
3.1415926535897931 -1.5707963267948966 5.6571305614385013E-017
3.1415926535897931 -0.78539816339744828 6.0055777714832775E-017
3.1415926535897931 0.0000000000000000 6.1232339957367660E-017
3.1415926535897931 0.78539816339744828 6.0055777714832775E-017
3.1415926535897931 1.5707963267948966 5.6571305614385013E-017
3.1415926535897931 2.3561944901923439 5.0912829964730146E-017
3.1415926535897931 3.1415926535897931 4.3297802811774670E-017
3.1415926535897931 3.9269908169872423 3.4018865378450242E-017
3.1415926535897931 4.7123889803846897 2.3432602026631496E-017
3.1415926535897931 5.4977871437821371 1.1945836920083910E-017
3.1415926535897931 6.2831853071795862 3.7493994566546440E-033
输入和输出功能如下图所示。
由于输出函数与
- 0.25d0*dcos(x(i1)/2.0d0) * dsin(y(i2)/4.0d0)相同，因此表明导数计算是正确的。在子程序“ d1y”中，我使用了前向和后向有限差分公式来计算边界处的导数以及两个边界之间的点的中心差。然后，我计算出相对误差。 y轴的边界处的误差为0.003，边界之间的点处的误差为0.0015，如下图所示。我使用相同的技术计算了二阶导数。该子例程如下：
`subroutine d2y(n1,n2,n3,a,a2)
implicit none
integer n1, n2, n3, i1, i2, i3
real*8 pi, a(n1,n2,n3), a2(n1,n2,n3), z(n3),x(n1),y(n2),h
pi=3.14159265358979323846d0
h=4.0d0*pi/(n2-1)
a2=0.0d0
i3 =1
do i1=1,n1
do i2=1,n2
if(i2 == 1)then
a2(i1,i2,i3)=( 2.0d0*a(i1,i2,i3) - 5.0d0*a(i1,i2+1,i3) + 4.0d0*a(i1,i2+2,i3) - a(i1,i2+3,i3))/(h*h)
else if( i2 == n2)then
a2(i1,i2,i3)=( 2.0d0*a(i1,i2,i3) - 5.0d0*a(i1,i2-1,i3) + 4.0d0*a(i1,i2-2,i3) - a(i1,i2-3,i3))/(h*h)
else
a2(i1,i2,i3)= ( a(i1,i2+1,i3) - 2.0d0*a(i1,i2,i3) + a(i1,i2-1,i3) )/(h*h)
endif
enddo
enddo
! enddo
end subroutine
这里的误差也在边界处很大，实际上，与一阶导数相比，该误差非常大，如图所示：
为什么边界这么大？请解释。
`
最佳答案
首先，我站得住脚。名称“前向差异”和“后向差异”通常是指标准的一阶公式。您确实有正确的二阶单边一阶导数公式。
使用x和h和x + 2h处的泰勒级数表达式导出二阶一阶导数正向差分公式，如下所示：
f（x + h）= f（x）+ h * f'（x）+ h ^ 2 * f''（x）/ 2！ + h ^ 3 * f'''（x）/ 3！ ....
f（x + 2h）= f（x）+ 2h * f'（x）+ 4h ^ 2 * f''（x）/ 2！ + 8h ^ 3 * f'''（x）/ 3！ ....
现在，取第一个序列的4倍，减去第二个序列，求出f'（x）。注意，二阶导数项消失了。
f'（x）= 3h / 2 * f（x）-2 / h * f（x + h）+ 1 /（2h）* f（x + 2h）+ 0-4h ^ 2 * f'''（ x）/ 3！
这是您正在使用的公式，它是二阶准确的。这并不意味着精度与中心差精度相同，而只是精度的阶数相同。
如果在保留误差项的同时查看中心差的推导，您会发现误差项看起来像：
-h ^ 2 * f'''（x）/ 6
您是否注意到前向差分公式中的误差项在其前面有一个常数。通常，误差将始终更大。但这并不是二阶精度的意思。精度顺序告诉您更改h时误差的变化方式。
例如，如果将h减半，则应获得约4倍的精度。这意味着在上面的示例中，中心差误差将从大约0.0015变为大约0.0004，边界误差将从大约0.003变为大约0.0008。
最终要点：您的程序正确，错误正确！
关于fortran - 使用有限差分计算一阶和二阶导数时，边界处存在较大误差，我们在Stack Overflow上找到一个类似的问题：https://stackoverflow.com/questions/53239057/