我必须做一些需要使用三角函数的计算，尤其是 atan 一个。代码将在 Atmega328p 上运行，为了效率起见，我不能使用 float s:我使用的是定点数。因此，我不能使用标准的 atan 函数。
我有一个函数，它采用定点格式 s16_10(有符号，16 位宽度，指向第 10 个位置)的值，并返回一个 s16_6 格式。输入将介于 0 和 1 之间(因此为 0 和 210)，因此输出(以度为单位)将介于 -45 和 45 之间(因此为 -45 * 26 和 45 * 26)。
假设 Y 是不动点，y 的 s16_6 表示，弧的实角，以及 x 诸如 atan(x) = y ，X 是 x 的 s16_10 表示。我首先用 4 次多项式逼近 atan 函数，从 (0,1) 到 (-45,45)，发现我们可以使用:
y ~= 8.11 * x^4 - 19.67 * x^3 - 0.93 * x^2 + 57.52 * x + 0.0096
这导致:
Y ~= (8.11 * X^4)/2^34 - (19.62* X^3)/2^24 - (0.93 * X^2)/2^14 + (57.52*X)/2^4 + 0.0069 * 2^6
我在这里卡住了......一方面，计算
X^4 将导致定义区间的五分之一为 0，另一方面，{3, 2, 1} 中的 2n4n 通常也会导致零值(value)...我该怎么办？ 最佳答案
有些术语被截断为零不一定是灾难；这不会大大恶化您的近似值。我通过将多项式的每一项四舍五入到最接近的整数来模拟您在 Matlab 中的固定精度设置:
q4 = @(X) round((8.11 * X.^4)/2^34);
q3 = @(X) -round((19.62* X.^3)/2^24);
q2 = @(X) -round((0.93 * X.^2)/2^14);
q1 = @(X) round((57.52*X)/2^4);
q0 = @(X) round(0.0069 * 2^6);
确实，在区间 [0,210] 的前五分之一，项 q4、q3、q2 看起来相当不稳定，而 q4 基本上不存在。
但是这些舍入的影响与您的多项式近似
atan 的理论误差的大小大致相同。这是图中红色是计算的差值(多项式-atan)，没有四舍五入到整数，绿色是差值(q4+q3+q2+q1+q0-atan):如您所见，舍入不会使近似变得更糟；在大多数情况下，它实际上通过一个愉快的事故减少了错误。
我确实注意到您的多项式系统地高估了 atan。当我使用 Matlab 在 [0,1] 上将 4 次多项式拟合到 atan 时，系数略有不同:
8.0927 -19.6568 -0.9257 57.5106 -0.0083
即使像你一样将这些截断为两个有效数字，我也得到了一个更好的近似值:
(8.09 * X^4)/2^34 - (19.66* X^3)/2^24 - (0.93 * X^2)/2^14 + (57.52*X)/2^4 - 0.0083 * 2^6
这次截断为整数确实使事情变得更糟。但是可以预料，将几个中间结果四舍五入为整数的计算结果将偏离 +-2 左右。该多项式显示的 +-0.5 的理论精度无法使用给定的算术工具实现。
关于math - `atan` 函数在定点的逼近，我们在Stack Overflow上找到一个类似的问题：https://stackoverflow.com/questions/30243268/