题目名称:最大公约数和最小公倍数问题
来源:2001年NOIP普及组
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题目内容
题目描述
输入二个正整数\(x_0,y_0(2\leq x_0\leq100000,2\leq y_0\leq1000000)\),求出满足下列条件的\(P、Q\)的个数。
条件:
- \(P、Q\)是正整数
- 要求\(P、Q\)以\(x_0\)为最大公约数,以\(y_0\)为最小公倍数。
试求,满足条件的所有可能的两个正整数的个数。
格式
输入
\(2\)个正整数\(x_0\),\(y_0\)
输出
\(1\)个数,表示求出满足条件的\(P\),\(Q\)的个数
数据
样例
输入
3 60
输出
4
说明
\(P,Q\)有\(4\)种
- \(3,60\)
- \(15,12\)
- \(12,15\)
\(60,3\)
数据范围
\(2\leq x_0\leq100000,2\leq y_0\leq1000000\)
题解
约定\(D=min(x_0,y_0),M=max(x_0,y_0)\)情况1:
\(M \mod D\neq0\)
显然,无解。情况2:
\(M \mod D=0\)
推一波
\[\because (P,Q)=D,[P,Q]=M\\\therefore P\times Q=(P,Q)[P,Q]=D\times M\\p=P\div D,q=Q\div D,prod=D\div M\\\therefore p\times q=prod\&(p,q)=1\\\]
当然,暴力枚举\(p\)就可以通过此题,时间复杂度\(O(\sqrt{prod}\times \log(\sqrt{prod}))\)。
但是这次笔者要将一个更优的解法。
由推出来的式子可得,我们就要求有多少对\(prod\)的因数互质。
现将\(prod\)分解质因子得到\(prod\)有\(n\)种质因子。
对于质因子\(d\),要么只是\(p\)的质因子,要么只是\(q\)的质因子(如果\(p\)和\(q\)同时拥有这个质因子\(d\),那么\((p,q)\neq 1\)),并且\(d\)至少要是其中一个的因数(否则\(p\times q\neq prod\))。
所以说其中每种质因子都有两种可能,则答案是\(2^n\)。
时间复杂度\(O(玄学)\),(最坏\(O(\sqrt{prod})\),最好\(O(\log(prod))\))
//C++
#include<bits/locale_facets.h>
#include<stdio.h>
#define forto(name,i,d,u) for(name i=d;i<=u;i++)
inline void output(long long o);
inline long long input();
int main()
{
short numeral=0;
int x=input(),y=input();
if(y%x)return putchar('0'),0;
y/=x;
forto(int,i,2,y/i)
if(!(y%i))
{
numeral++;
while(!(y%i))y/=i;
}
if(y>1)numeral++;
output(1<<numeral);
return 0;
}
inline void output(long long o)
{
if(o<0)putchar('-'),o=-o;
if(o>=10)output(o/10);
putchar(o%10^'0');
}
inline long long input()
{
bool minus=false;
char now=getchar();
long long i=0;
for(;!isdigit(now);now=getchar())
if(now=='-')minus=!minus;
for(;isdigit(now);now=getchar())i=(i<<3)+(i<<1)+(now^'0');
return minus?-i:i;
}
//pascal
var
numeral:1..30;
x:2..100000;
i,y:1..1000000;
begin
readln(x,y);
if y mod x>0 then
begin
write('0');
halt;
end;
y:=y div x;
i:=2;
while i<=y div i do
begin
if y mod i=0 then
begin
inc(numeral);
while y mod i=0 do y:=y div i;
end;
inc(i);
end;
if y>1 then inc(numeral);
write(1 shl numeral);
end.