前言
快速傅里叶变换（\(\text{Fast Fourier Transform,FFT}\) ）是一种能在\(O(n \log n)\)的时间内完成多项式乘法的算法，在\(OI\)中的应用很多，是多项式相关内容的基础。下面从头开始介绍\(\text{FFT}\)。
前置技能：弧度制、三角函数、平面向量。
多项式
形如\(f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_nx^n\)的式子称为\(x\)的\(n\)次多项式。其中\(a_0,a_1,...,a_n\)称为多项式的系数。
系数表达法
上面定义中的表示就是系数表达法。其系数可看成\(n+1\)维向量\(\vec a=(a_0,a_1,...,a_n)\)。
点值表达法
把多项式看成一个函数，点值表示就用它图像上的\(n+1\)个不同的点\((x_0,y_0),...,(x_n,y_n)\)来确定这个多项式。多项式有不止一个点值表示，可以证明每个点值表示确定唯一的系数表达多项式。
复数
虚数单位
\(i\)被称为虚数单位。规定\(i=\sqrt {-1}\)。
复平面
复数的平面由\(x,y\)轴组成。\(x\)轴称为实轴，\(y\)轴称为虚轴。平面内的每一个从原点到某个点\((a,b)\)的向量\(\vec a=(a,b)\)表示复数\(a+bi\).
复数的模长：\(\sqrt {a^2+b^2}\).实轴到复数向量的转角\(\theta\)称为幅角。
复数的基本运算
- 复数的加（减）法：\((a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i\)
- 复数的乘法：\((a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i\)
- 一个口诀：复数乘法，模长相乘，幅角相加。可以用下面将提到欧拉公式证明。
共轭复数
\(a+bi\)与\(a-bi\)互为共轭复数。图像上是关于x轴对称的。
单位根
\(n\)次单位根是满足\(z^n=1\)的\(n\)个复数，它们均分复平面的单位圆。
这些复数满足模长为\(1\)，幅角的\(n\)倍是\(2\pi\)的倍数
欧拉公式：\(e^{xi}=\cos x+i \sin x\)，其中\(e\)为自然对数的底数，\(i\)为虚数单位。
（p.s. 欧拉公式的证明可以使用泰勒展开）
\(n\)次单位根有n个，为\(e^{\frac{2\pi ki}{n}},k\in [0,n-1]\)
我们记\(\omega_n=e^{\frac{2\pi i}{n}},\)则\(n\)次单位根为\(\omega_n^0,...,\omega_n^{n-1}\)
上面是数学上单位根定义，还有一种更易理解的方法：
单位根均分复平面单位圆，那\(w_n\)的幅角就是\(\frac{2\pi}{n}\)，根据三角函数即可得到。
单位根的性质
性质\(1\)：根据定义得到：\(\omega_{2n}^{2k}=\omega_{n}^{k}\)（被叫做折半定理，是消去定理的特殊情形）
性质\(2\)：\(\omega_{n}^{\frac{n}{2}+k}=-\omega_n^k\)
证明：
\(\omega_{n}^{\frac{n}{2}}=e^{\frac{2\pi i}{n} \frac{n}{2}}=e^{\pi i}=\cos \pi+i \sin \pi=-1\)
\(\omega_{n}^{\frac{n}{2}+k}=\omega_{n}^{\frac{n}{2}}\omega_{n}^{k}=-\omega_n^k\)
性质\(2\)图像上理解是转半圈。
Fast Fourier Transform
多项式乘法
系数表达的多项式乘法：\(c(x)=a(x)b(x)\)，则\(c(x)=\sum_{i=0}^{2n} c_i x^i\)
其中\(c_i=\sum_{j=0}^{n}a_jb_{i-j}\).
时间复杂度\(O(n^2)\)
点值表达的多项式乘法：取相同的一组的\(x\)，\(y\)值相乘即可
时间复杂度\(O(n)\)
因此多项式乘法的基本思路是先插值得到点值表达，再\(O(n)\)乘，最后求值得到系数表达。
DFT
把\(n\)次单位根\(\omega_n^0,...,\omega_n^{n-1}\)带入多项式\(A(x)=a_0+a_1x+...+a_{n-1}x^{n-1}\)，
得到点值向量\(\vec y=(A(\omega_n^0),A(\omega_n^1),...,A(\omega_n^{n-1}))\)，
称为系数向量\(\vec a=(a_0,a_1,...,a_n)\)的离散傅里叶变换（\(\text{Discrete Fourier Transform, DFT}\)），写作\(\vec y=\text{DFT}_n(\vec a)\)。
直接求\(\text{DFT}\)是\(O(n^2)\)的。\(\text{FFT}\)的常用算法\(\text{Cooley-Tukey}\)使用分治方法做到\(O(n\log n)\).
以下讨论基于\(n=2^m,m \in N^*\)，若不足则高位系数补\(0\).（注意这里\(n\)是次数界，即最高次项为\(x^{n-1}\)）
考虑点值向量的第\(k+1\)维（\(k<\frac{n}{2}\)）：
\(A(\omega_{n}^{k})=\sum_{i=0}^{n-1}a_i(\omega_{n}^{k})^{i}=\sum_{i=0}^{n-1}a_i\omega_{n}^{ki}\)
\(=\sum_{i=0}^{\frac{n}{2}-1}a_{2i}\omega_{n}^{2ki}+\sum_{i=0}^{\frac{n}{2}-1}a_{2i+1}\omega_{n}^{2ki+k}\)
\(=\sum_{i=0}^{\frac{n}{2}-1}a_{2i}\omega_{n}^{2ki}+\omega_{n}^{k}\sum_{i=0}^{\frac{n}{2}-1}a_{2i+1}\omega_{n}^{2ki}\)
利用性质1：\(\omega_{2n}^{2k}=\omega_{n}^{k}\)
\(A(\omega_{n}^{k})=\sum_{i=0}^{\frac{n}{2}-1}a_{2i}\omega_{\frac{n}{2}}^{ki}+\omega_{n}^{k}\sum_{i=0}^{\frac{n}{2}-1}a_{2i+1}\omega_{\frac{n}{2}}^{ki}\)
利用性质2：\(\omega_{n}^{\frac{n}{2}+k}=-\omega_n^k\)
可以推出：
\(A(\omega_{n}^{k+\frac{n}{2}})=(-1)^{\frac{n}{2}}\sum_{i=0}^{\frac{n}{2}-1}a_{2i}\omega_{\frac{n}{2}}^{ki}+(-1)^{\frac{n}{2}}\omega_{n}^{k+\frac{n}{2}}\sum_{i=0}^{\frac{n}{2}-1}a_{2i+1}\omega_{\frac{n}{2}}^{ki}\)
\(A(\omega_{n}^{k+\frac{n}{2}})=\sum_{i=0}^{\frac{n}{2}-1}a_{2i}\omega_{\frac{n}{2}}^{ki}-\omega_n^k\sum_{i=0}^{\frac{n}{2}-1}a_{2i+1}\omega_{\frac{n}{2}}^{ki}\)
为了简记，偶数、奇数项系数用\(A_0,A_1\)表示，则上面的式子可以写成以下形式
\(A(\omega_{n}^{k})=A_0(\omega_{\frac{n}{2}}^k)+\omega_{n}^{k}A_1(\omega_{\frac{n}{2}}^k)\)
\(A(\omega_{n}^{k+\frac{n}{2}})=A_0(\omega_{\frac{n}{2}}^k)-\omega_{n}^{k}A_1(\omega_{\frac{n}{2}}^k)\)
上面把求和分成\(0,2,...,n-2\)与\(1,3,...,n-1\)两部分，把大小为\(n\)的问题转化成两个规模为\(\frac{n}{2}\)的子问题，可以进行分治求解了。
IDFT
求值过程使用离散傅里叶逆变换（\(\text{Inverse Discrete Fourier Transform, IDFT}\)）
结论：只要把\(\text{DFT}\)的\(\omega_n\)都取倒数（共轭复数），最后除以\(n\)即可。
证明：
设\(\vec Y=(y_0,y_1,...,y_n)\)为\(\vec A = (a_0,a_1,...,a_n)\)的离散傅里叶变换。
考虑一个向量：\(\vec C=(c_0,c_1,...,c_n)\)满足\(c_k=\sum_{i=0}^{n-1}y_i(\omega_n^{-k})^i\)
（即\(\vec C\)是多项式\(\vec Y\)在\(\omega_n^0,\omega_n^{-1},...,\omega_n^{-(n-1)}\)处的点值）
将上式展开：
\(c_k=\sum_{i=0}^{n-1}y_i(\omega_n^{-k})^i\)
\(=\sum_{i=0}^{n-1}(\sum_{j=0}^{n-1}a_j(\omega_n^i)^j)(\omega_n^{-k})^i\)
\(=\sum_{i=0}^{n-1}(\sum_{j=0}^{n-1}a_j(\omega_n^j)^i)(\omega_n^{-k})^i\)
\(=\sum_{i=0}^{n-1}\sum_{j=0}^{n-1}a_j(\omega_n^j)^i(\omega_n^{-k})^i\)
\(=\sum_{i=0}^{n-1}\sum_{j=0}^{n-1}a_j(\omega_n^{j-k})^i\)
\(=\sum_{j=0}^{n-1}a_j(\sum_{i=0}^{n-1}(\omega_n^{j-k})^i)\)
考虑一个前缀和\(S(\omega_n^k)=1+\omega_n^k+(\omega_n^k)^2+...+(\omega_n^k)^{n-1}\)。
当\((\omega_n^k)\not = 1\)即\(k\not = 0\)时，使用等比数列求和方法：
\(\omega_n^kS(\omega_n^k)=\omega_n^k+(\omega_n^k)^2+(\omega_n^k)^3+...+(\omega_n^k)^{n}\)
\(\omega_n^kS(\omega_n^k)-S(\omega_n^k)=(\omega_n^k)^{n}-1\)
\(S(\omega_n^k)=\frac{(\omega_n^k)^{n}-1}{\omega_n^k-1}\)
分母不为\(0\)，分子\((\omega_n^k)^{n}-1=(\omega_n^n)^{k}-1=1^{k}-1=0\)
因此\(k\not = 0\)时，\(S(\omega_n^k)=0\)
\(k=0\)时，\(S(\omega_n^k)=n(\omega_n^k)^0=n\)
继续考虑刚刚那个式子
\(c_k=\sum_{j=0}^{n-1}a_j(\sum_{i=0}^{n-1}(\omega_n^{j-k})^i)\)
只有\(j-k=0\)时\(\sum_{i=0}^{n-1}(\omega_n^{j-k})^i\)才为\(n\)，否则为\(0\)。
\(c_k=a_kn\)
得到结论：\(a_k=\frac{c_k}{n}\)。
上面也可以用矩阵证（更加优美），太麻烦了就不写了。
再次总结一下，离散傅里叶逆变换就是先求出多项式在\(\omega_n^0,\omega_n^{-1},...,\omega_n^{-(n-1)}\)处的点值表示，再每一项除以\(n\)。和上面的分治求值没有区别，因为这些点值性质完全相同。
递归版代码
按照如上所述的方法可以轻松写出一份递归代码。
//Luogu P3803 多项式乘法 - 递归FFT
#include <complex>
#include <cstdio>
using namespace std;
typedef complex<double> comp;
const int N = (1 << 20) + 10 << 1;
const double PI2 = 2.0 * acos(-1.0);
int read() {
int x = 0; char c = getchar();
for(; c < '0' || c > '9'; c = getchar()) ;
for(; c >= '0' && c <= '9'; c = getchar())
x = x * 10 + (c & 15);
return x;
}
int n, m;
comp a[N], b[N];
void fft(int n, comp * a, int type) {
if(n == 1) return ;
comp a1[n >> 1], a2[n >> 1];
for(int i = 0; i < n; i += 2)
a1[i >> 1] = a[i], a2[i >> 1] = a[i + 1];
fft(n >> 1, a1, type), fft(n >> 1, a2, type);
comp w(1, 0), wn(cos(PI2 / n), type * sin(PI2 / n));
for(int i = 0; i < n >> 1; i ++, w *= wn)
a[i] = a1[i] + w * a2[i],
a[i + (n >> 1)] = a1[i] - w * a2[i];
}
int main() {
n = read(), m = read();
for(int i = 0; i <= n; i ++) a[i] = read();
for(int i = 0; i <= m; i ++) b[i] = read();
int lim = 1;
for(; lim <= n + m; lim <<= 1) ;
fft(lim, a, 1), fft(lim, b, 1);
for(int i = 0; i <= lim; i ++) a[i] *= b[i];
fft(lim, a, -1);
for(int i = 0; i <= n + m; i ++)
printf("%d ", (int)(0.5 + a[i].real() / lim));
return 0;
}迭代优化
通过观察得到：多项式的\(i\)次项到分治边界时下标为\(r[i]\),\(r[i]\)为\(i\)二进制翻转后的数
我们可以先把系数分到底层的位置，然后一层一层往上做。
//Luogu P3803 多项式乘法 - 迭代FFT
#include <complex>
#include <cstdio>
using namespace std;
typedef complex<double> comp;
const int N = (1 << 21) + 10;
const double PI = acos(-1);
int read() {
int x = 0; char c = getchar();
for(; c < '0' || c > '9'; c = getchar()) ;
for(; c >= '0' && c <= '9'; c = getchar())
x = x * 10 + (c & 15);
return x;
}
int n, m, lim, r[N];
comp a[N], b[N];
void fft(comp * a, int type) {
for(int i = 0; i < lim; i ++)
if(i < r[i]) swap(a[i], a[r[i]]);
for(int i = 1; i < lim; i <<= 1) {
comp x(cos(PI / i), type * sin(PI / i));
for(int j = 0; j < lim; j += (i << 1)) {
comp y(1, 0);
for(int k = 0; k < i; k ++, y *= x) {
comp p = a[j + k], q = y * a[j + k + i];
a[j + k] = p + q; a[j + k + i] = p - q;
}
}
}
}
int main() {
n = read(), m = read();
for(int i = 0; i <= n; i ++) a[i] = read();
for(int i = 0; i <= m; i ++) b[i] = read();
int l = 0;
for(lim = 1; lim <= n + m; lim <<= 1) ++ l;
for(int i = 0; i < lim; i ++)
r[i] = (r[i >> 1] >> 1) | ((i & 1) << (l - 1));
fft(a, 1), fft(b, 1);
for(int i = 0; i <= lim; i ++) a[i] *= b[i];
fft(a, -1);
for(int i = 0; i <= n + m; i ++)
printf("%d ", (int)(0.5 + a[i].real() / lim));
return 0;
}NTT 快速数论变换
（若不了解原根的基础知识，可以阅读 Hongzy：数学相关 中的内容）
对于一类特殊形式质数\(p=r 2^k+1\)，模\(p\)意义下做多项式乘法可以使用NTT。
回顾一下我们用到单位根三条性质：
- \(\omega_n^n=\omega_n^0=1\)（逆变换中所用）
- \(\omega_n^0,\omega_n^1,\omega_n^2,...,\omega_n^{n-1}\)互不相同（点值表示的要求）
- \(\omega_{2n}^{2k}=\omega_{n}^{k}\)，\(\omega_{n}^{\frac{n}{2}+k}=-\omega_n^k\)（分治基础）
根据\(n\mid p-1\)启发，我们找到一个东西\(g_n=g^{\frac{p-1}{n}}\)（即\(g^r\)），也满足这三条性质：
- \(g_n^n=g_n^0=1\)（证明：费马小定理）
- \(g_{n}^0,g_{n}^1,g_{n}^2,...,g_{n}^{n-1}\)互不相同（根据原根的性质，\(g_n^0\)到\(g^{p-2}\)都是不同的）
- \(g_{2n}^{2k}=g^{\frac{2k(p-1)}{2n}}=g^{\frac{k(p-1)}{n}}=g_n^k,g_n^{\frac{n}{2}+k}=g_n^k g_n^{\frac{n}{2}}=-g_n^{k}\)
注意\(3\)的最后一步用到了\(g_n^{\frac{n}{2}}=g^{\frac{p-1}{n}\frac{n}{2}}=g^{\frac{p-1}{2}}\)。由于\(g\)不是二次剩余，\(g^{\frac{p-1}{2}}=-1\)
代码：
//UOJ#34. 多项式乘法
#include <algorithm>
#include <cstdio>
using namespace std;
const int MOD = 998244353;
const int N = 1e6 + 10;
int n, m, L, r[N], g[N], a[N], b[N];
int qpow(int a, int b) {
int ans = 1;
for(; b; b >>= 1, a = a * 1ll * a % MOD)
if(b & 1) ans = ans * 1ll * a % MOD;
return ans;
}
void ntt(int *a, int f) {
for(int i = 0; i < n; i ++)
if(i < r[i]) swap(a[i], a[r[i]]);
for(int i = 1; i < n; i <<= 1) {
int gn = qpow(3, (MOD - 1) / (i << 1)), x, y;
for(int j = 0; j < n; j += (i << 1)) {
int g = 1;
for(int k = 0; k < i; k ++, g = 1ll * g * gn % MOD) {
x = a[j + k]; y = 1ll * g * a[i + j + k] % MOD;
a[j + k] = (x + y) % MOD;
a[i + j + k]=(x - y + MOD) % MOD;
}
}
}
if(f == 1) return;
reverse(a + 1, a + n);
int y = qpow(n, MOD - 2);
for(int i = 0; i < n; i ++)
a[i] = 1ll * a[i] * y % MOD;
}
int main() {
scanf("%d%d", &n, &m);
for(int i = 0; i <= n; i ++)
scanf("%d", &a[i]);
for(int i = 0; i <= m; i ++)
scanf("%d", &b[i]);
m += n;
for(n = 1; n <= m; n <<= 1) L ++;
for(int i = 0; i < n; i ++)
r[i] = (r[i >> 1] >> 1) | ((i & 1) << (L - 1));
ntt(a, 1); ntt(b, 1);
for(int i = 0; i < n; i ++)
a[i] = 1ll * a[i] * b[i] % MOD;
ntt(a, -1);
for(int i = 0; i <= m; i ++)
printf("%d ", a[i]);
return 0;
}结语
参考博客：