不定期\(qwq\)
多项式乘法逆
给定一个多项式 \(F(x)\) ，请求出一个多项式 \(G(x)\)， 满足 \(F(x) * G(x) \equiv 1 ( \mathrm{mod\:} x^n )\)。系数对 \(998244353\) 取模。
考虑倍增
多项式只有一项时就是乘法逆元
假设我们现在得到了 \[G^{'}(x)\equiv F(x) (mod\ x^{\frac{n}{2}})\]
我们需要求\[G(x)\equiv F(x) (mod\ x^n)\]
很明显\[G(x)-G^{'}(x)\equiv 0 (mod\ x^{\frac{n}{2}})\]
两边同时平方\[G(x)^2-2*G(x)G^{'}(x)+G^{'}(x)\equiv 0 (mod\ x^n)\]
两边同时乘\(F(x)\)得到\[F(x)(G(x)^2-2*G(x)G^{'}(x)+G^{'}(x))\equiv 0 (mod\ x^n)\]
由于\[F(x)G(x)\equiv 1(mod\ x^n)\]
所以\[G(x)-2G(x)^{'}+F(x)G^{'2}(x)\equiv (mod\ x^n)\]
移下项\[G(x)\equiv 2G(x)^{'}-F(x)G^{'2}(x)(mod\ x^n)\]
只要初始设置\(G(0)=F(0)^{-1}\)就可以倍增啦～
额额额不知道有没有人和我有一样的疑惑：为啥递归一次多项式次数少一半，原因是模掉了……
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
namespace red{
#define int long long
#define eps (1e-8)
inline int read()
{
int x=0;char ch,f=1;
for(ch=getchar();(ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-';ch=getchar());
if(ch=='-') f=0,ch=getchar();
while(ch>='0'&&ch<='9'){x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0';ch=getchar();}
return f?x:-x;
}
const int N=5e5+10,p=998244353,g=3,gi=332748118;
int n;
int a[N],b[N],c[N];
int pos[N];
inline int fast(int x,int k)
{
int ret=1;
while(k)
{
if(k&1) ret=ret*x%p;
x=x*x%p;
k>>=1;
}
return ret;
}
inline void ntt(int limit,int *a,int inv)
{
for(int i=0;i<limit;++i)
if(i<pos[i]) swap(a[i],a[pos[i]]);
for(int mid=1;mid<limit;mid<<=1)
{
int Wn=fast(g,(p-1)/(mid<<1));
for(int r=mid<<1,j=0;j<limit;j+=r)
{
int w=1;
for(int k=0;k<mid;++k,w=w*Wn%p)
{
int x=a[j+k],y=w*a[j+k+mid]%p;
a[j+k]=x+y;
if(a[j+k]>=p) a[j+k]-=p;
a[j+k+mid]=x-y;
if(a[j+k+mid]<0) a[j+k+mid]+=p;
}
}
}
if(inv) return;
inv=fast(limit,p-2);reverse(a+1,a+limit);
for(int i=0;i<limit;++i) a[i]=a[i]*inv%p;
}
inline void poly_inv(int pw,int *a,int *b)
{
if(pw==1) {b[0]=fast(a[0],p-2);return;}
poly_inv((pw+1)>>1,a,b);
int len=0,limit=1;
while(limit<(pw<<1)) limit<<=1,++len;
for(int i=1;i<limit;++i) pos[i]=(pos[i>>1]>>1)|((i&1)<<(len-1));
for(int i=0;i<pw;++i) c[i]=a[i];
for(int i=pw;i<limit;++i) c[i]=0;
ntt(limit,c,1);ntt(limit,b,1);
for(int i=0;i<limit;++i) b[i]=((2-c[i]*b[i]%p)+p)%p*b[i]%p;
ntt(limit,b,0);
for(int i=pw;i<limit;++i) b[i]=0;
}
inline void main()
{
n=read();
for(int i=0;i<n;++i) a[i]=read();
poly_inv(n,a,b);
for(int i=0;i<n;++i) printf("%lld ",b[i]);
}
}
signed main()
{
red::main();
return 0;
}