要解决线性矩阵方程，可以使用 numpy.linalg.solve它实现了 LAPACK 例程 *gesv 。
根据文档
DGESV computes the solution to a real system of linear equations
A * X = B,
where A is an N-by-N matrix and X and B are N-by-NRHS matrices.
The LU decomposition with partial pivoting and row interchanges is
used to factor A as
A = P * L * U,
where P is a permutation matrix, L is unit lower triangular, and U is
upper triangular. The factored form of A is then used to solve the
system of equations A * X = B.
但是，我们也可以使用
scipy.linalg.lu_factor() 和 scipy.linalg.lu_solve()为了解决我们的问题，lu_factor() 在哪里Compute pivoted LU decomposition of a matrix.
The decomposition is:
A = P L U
where P is a permutation matrix,
L lower triangular with unit diagonal elements,
and U upper triangular.
所以显然这两种方法似乎是多余的。这种冗余有什么意义吗？对我来说似乎很困惑..
最佳答案
确实你是对的: 链接 scipy 的 scipy.linalg.lu_factor() 和 scipy.linalg.lu_solve() 完全等同于 numpy 的 numpy.linalg.solve() 。 然而， 能够访问 LU 分解在实际情况中是一个很大的优势。
首先，让我们证明等价。 numpy.linalg.solve() 指出:
事实上，github repository of numpy 包含一个精简版的 LAPACK。
那么，我们来看看LAPACK的 dgesv 的来源。计算矩阵的 LU 分解并用于求解线性系统。确实，该函数的源代码非常清楚:用于输入检查的应用程序，归结为调用 dgetrf (LU 分解)和 dgetrs 。最后， scipy.linalg.lu_factor() 和 scipy.linalg.lu_solve() 分别包装了 dgetrf 和 dgetrs ，具有像 getrf, = get_lapack_funcs(('getrf',), (a1,)) 和 getrs, = get_lapack_funcs(('getrs',), (lu, b1)) 这样的行。
正如@Alexander Reynolds 所注意到的，LU 分解可用于计算矩阵的行列式和秩。事实上，关于行列式， numpy.det 调用 LU 分解 _getrf ! 参见 source of numpy.linalg 。然而，numpy 使用 SVD 分解计算矩阵的秩。
但是使用 LU 计算排名并不是将接口(interface)暴露给 dgetrf 和 dgetrs 的唯一原因。确实有一些常见的情况，一次调用 dgetrf，将 LU 分解保留在内存中并多次调用 dgetrs 是决定性的优势。以 iterative refinement 为例。必须注意， 计算 LU 分解比使用分解 (N^2) 求解线性系统需要更多时间 (N^3)。
让我们来看看 Newton-Raphson method 求解耦合非线性方程组 F(x)=0 其中 F: R^N->R^N。执行 Newton-Raphson 迭代需要求解矩阵为雅可比矩阵 J 的线性系统:
其中 x_{i+1} 是未知数。 Jacobian J(x_i) 通常计算起来很昂贵，更不用说系统必须被求解的事实。因此，经常考虑 拟牛顿方法 ，其中建立雅可比矩阵的近似值。一个简单的想法是不要每次迭代都更新雅可比矩阵，只要残差的范数减少就继续迭代。 在这样的过程中会时不时的调用dgetrf，而dgetrs 每次迭代都会调用一次。 有关方案，请参阅 there。让我们看一个例子:让我们尝试从 x_0=2 开始求解 x^2=1。对于牛顿法的 4 次迭代，我们得到 f(x_4)=9.2e-8 和 f(x_5)
还有更有效的策略包括 每次迭代更新一次 LU 分解而不分解任何矩阵。 见 Denis 和 Marwil 的 "Direct Secant Updates of Matrix Factorizations" 以及 Brown 等人的 "EXPERIMENTS WITH QUASI-NEWTON METHODS IN SOLVING STIFF ODE SYSTEMS"。阿尔。
因此，在 non-linear finite element analysis 中，并不总是在每次牛顿迭代( option of Code_Aster in paragraph 3.10.2MATRICE 或 diana 或 here 或 there )时评估切线刚度的装配。
关于python - numpy.linalg.solve 和 numpy.linalg.lu_solve 的区别，我们在Stack Overflow上找到一个类似的问题：https://stackoverflow.com/questions/44672029/