回溯算法
如何理解
- 人的一生中,会遇到很多重要的岔路口。在岔路口上,每个选择都会影响我们今后的人生。有的人在每个岔路口都能做出最正确的选择,最后生活、事业都达到了一个很高的高度;而有的人一路选错,最后碌碌无为。如果人生可以量化,那如何才能在岔路口做出最正确的选择,让自己的人生“最优”呢?
- 每个岔路口都选择最优解的方式叫做贪心算法,这并不一定得到最优解。
- 回溯的处理思想,有点类似枚举搜索。我们枚举所有的解,找到满足期望的解。为了有规律地枚举所有可能的解,避免遗漏和重复,我们把问题求解的过程分为多个阶段。每个阶段,我们都会面对一个岔路口,我们先随意选一条路走,当发现这条路走不通的时候(不符合期望的解),就回退到上一个岔路口,另选一种走法继续走。
- 八皇后问题:有一个 8x8 的棋盘,希望往里放 8 个棋子(皇后),每个棋子所在的行、列、对角线都不能有另一个棋子。
我们把这个问题划分成 8 个阶段,依次将 8 个棋子放到第一行、第二行、第三行……第八行。在放置的过程中,我们不停地检查当前的放法,是否满足要求。如果满足,则跳到下一行继续放置棋子;如果不满足,那就再换一种放法,继续尝试。
int[] result = new int[8];//全局或成员变量,下标表示行,值表示queen存储在哪一列 public void cal8queens(int row) { // 调用方式:cal8queens(0); if (row == 8) { // 8个棋子都放置好了,打印结果 printQueens(result); return; // 8行棋子都放好了,已经没法再往下递归了,所以就return } for (int column = 0; column < 8; ++column) { // 每一行都有8中放法 if (isOk(row, column)) { // 有些放法不满足要求 result[row] = column; // 第row行的棋子放到了column列 cal8queens(row+1); // 考察下一行 } } } private boolean isOk(int row, int column) {//判断row行column列放置是否合适 int leftup = column - 1, rightup = column + 1; for (int i = row-1; i >= 0; --i) { // 逐行往上考察每一行 if (result[i] == column) return false; // 第i行的column列有棋子吗? if (leftup >= 0) { // 考察左上对角线:第i行leftup列有棋子吗? if (result[i] == leftup) return false; } if (rightup < 8) { // 考察右上对角线:第i行rightup列有棋子吗? if (result[i] == rightup) return false; } --leftup; ++rightup; } return true; } private void printQueens(int[] result) { // 打印出一个二维矩阵 for (int row = 0; row < 8; ++row) { for (int column = 0; column < 8; ++column) { if (result[row] == column) System.out.print("Q "); else System.out.print("* "); } System.out.println(); } System.out.println(); }
两个回溯算法的经典应用
- 0-1背包问题:有一个背包,背包总的承载重量是 Wkg。现在我们有 n 个物品,每个物品的重量不等,并且不可分割。我们现在期望选择几件物品,装载到背包中。在不超过背包所能装载重量的前提下,如何让背包中物品的总重量最大?
- 因为物品不可分割,要么装要么不装,所以叫0-1背包问题,贪心算法解决的是物品可以分割的背包问题
- 用回溯的方法。我们可以把物品依次排列,整个问题就分解为了 n 个阶段,每个阶段对应一个物品怎么选择。先对第一个物品进行处理,选择装进去或者不装进去,然后再递归地处理剩下的物品。
- 还要用到了一点搜索剪枝的技巧,就是当发现已经选择的物品的重量超过 Wkg 之后,我们就停止继续探测剩下的物品。
public int maxW = Integer.MIN_VALUE; //存储背包中物品总重量的最大值 // cw表示当前已经装进去的物品的重量和;i表示考察到哪个物品了; // w背包重量;items表示每个物品的重量;n表示物品个数 // 假设背包可承受重量100,物品个数10,物品重量存储在数组a中,那可以这样调用函数: // f(0, 0, a, 10, 100) public void f(int i, int cw, int[] items, int n, int w) { if (cw == w || i == n) { // cw==w表示装满了;i==n表示已经考察完所有的物品 if (cw > maxW) maxW = cw; return; } f(i+1, cw, items, n, w); if (cw + items[i] <= w) {// 已经超过可以背包承受的重量的时候,就不要再装了 f(i+1,cw + items[i], items, n, w); } }
- 正则表达式