python - Numpy Cholesky分解LinAlgError

在尝试对周期边界条件的2D数组的方差-协方差矩阵执行cholesky分解时，在某些参数组合下，我总是得到LinAlgError: Matrix is not positive definite - Cholesky decomposition cannot be computed。由于脚本很简单，因此不确定是numpy.linalg还是实现问题:

sigma = 3.
U = 4

def FromListToGrid(l_):
    i = np.floor(l_/U)
    j = l_ - i*U
    return np.array((i,j))

Ulist = range(U**2)

Cov = []
for l in Ulist:
    di = np.array([np.abs(FromListToGrid(l)[0]-FromListToGrid(i)[0]) for i, x in enumerate(Ulist)])
    di = np.minimum(di, U-di)

    dj = np.array([np.abs(FromListToGrid(l)[1]-FromListToGrid(i)[1]) for i, x in enumerate(Ulist)])
    dj = np.minimum(dj, U-dj)

    d = np.sqrt(di**2+dj**2)
    Cov.append(np.exp(-d/sigma))
Cov = np.vstack(Cov)

W = np.linalg.cholesky(Cov)

尝试删除潜在的奇点也未能解决问题。任何帮助深表感谢。

最佳答案

深入研究问题，我尝试打印Cov矩阵的特征值。

print np.linalg.eigvalsh(Cov)

答案是这样的

[-0.0801339  -0.0801339   0.12653595  0.12653595  0.12653595  0.12653595 0.14847999  0.36269785  0.36269785  0.36269785  0.36269785  1.09439988 1.09439988  1.09439988  1.09439988  9.6772531 ]

啊哈!注意前两个负特征值吗？现在，当且仅当其所有特征值均为正时，矩阵才为正定。因此，矩阵的问题不在于它接近“零”，而在于它是“负”。为了扩展@duffymo类比，这是线性代数，等效于尝试取负数的平方根。

现在，让我们尝试执行相同的操作，但是这次是scipy。

scipy.linalg.cholesky(Cov, lower=True)

而且这还不能说更多

numpy.linalg.linalg.LinAlgError: 12-th leading minor not positive definite

这说明了更多信息(尽管我无法真正理解为什么它提示第12个未成年人)。

底线，矩阵不是很接近“零”，而是更像“负”