我正在尝试从通常用于指定晶体学晶胞的参数生成一些轴矢量。这些参数包括三个轴的长度：a，b，c和它们之间的角度：alpha，beta，gamma。按照惯例，alpha是b和c轴之间的角度，beta是a和c之间的角度，gamma是a和b之间的角度。
现在获得前两个矢量表示很容易。我可以将a轴设置为x轴，因此a_axis = [a，0,0]。然后，我需要将b从a旋转一个角度gamma，这样我就可以停留在x-y平面中，并且b_axis = [b * cos（gamma），b * sin（γ），0]。
问题是第三个向量。我无法找出确定它的好方法。我想出了一些不同的解释，但都没有解决。一种是想象在轴axis_a和axis_b周围有两个圆锥体，它们的大小由角度α和beta规定。这些圆锥的相交会产生两条线，z轴正方向的一条线可以用作长度为c的axis_c的方向。
有人知道我应该如何确定axis_c吗？
谢谢。
最佳答案
已知长度的两个向量u，v之间的夹角alpha可以从它们的内部（点）乘积中找到：
cos（alpha）= /（|| u || || v ||）
也就是说，α的余弦是两个向量的内积除以其长度的乘积。
因此，第三个分量的z分量可以是任何非零值。在正确设置角度后缩放任何或所有轴矢量不会改变角度，因此我们假设（假设）Cz = 1。
现在，前两个向量也可能是A =（1,0,0）和B =（cos（γ），sin（γ），0）。它们都具有长度1，因此选择C时要满足的两个条件是：
cos（alpha）= / || C ||
cosβ= / || C ||
现在我们只需要解决两个未知数Cx和Cy。为了简单起见，我将它们称为x和y，即C =（x，y，1）。从而：
cos（alpha）= [cos（gamma）* x + sin（gamma）* y] / sqrt（x ^ 2 + y ^ 2 +1）
cos（beta）= x /（sqrt（x ^ 2 + y ^ 2 +1）
将第一个方程除以第二个方程（假设beta不是直角！），我们得到：
cosα/cosβ= cos（伽马）+ sin（伽马）*（y / x）
它是一个线性方程，用于求解比率r = y / x。一旦有了，将y = rx替换为上面的第二个方程式并平方，得到x的二次方程式：
cos ^2β（*）（（1 + r ^ 2）x ^ 2 +1）= x ^ 2
cos ^2β=（1-cos ^2β*（1 + r ^ 2））x ^ 2
x ^ 2 = cos ^2β/ [（1-cos ^2β*（1 + r ^ 2））]
通过对方程求平方，我们引入了一个伪像根，对应于选择x的符号。因此，请在“原始”第二个方程式中检查由此获得的x的解，以确保获得正确的cos（beta）符号。
添加：
如果beta是直角，则比上面的简单。 x = 0是强制的，我们只需要求解y的第一个方程：
cos（α）= sin（γ）* y / sqrt（y ^ 2 +1）
对分母进行平方和乘法运算得到y的二次数，类似于我们之前所做的。请记住检查您选择的y符号：
cos ^2α*（y ^ 2 +1）= sin ^2γ（y ^ 2）
cos ^2α= [sin ^2γ-cos ^2α] * y ^ 2
y ^ 2 = cos ^2α/ [sin ^2γ-cos ^2α]
实际上，如果角度α，β，γ中的一个是直角，则最好标记该角度γ（在前两个向量A，B之间）以简化计算。
关于math - 角度分开的轴，我们在Stack Overflow上找到一个类似的问题：https://stackoverflow.com/questions/6605157/