19.11.4总结

估分：100+70+63

实际：100+0+63

T1

原题。

先把障碍点排序，保证后面的点不能走到前面的点。

设f[i]表示从原点开始走，不经过其他障碍点到达障碍点i的方案数。

求f[i]的时候，用全部方案减去不合法的方案。

显然，某一种不合法的方案有且仅有一个"最先经过的障碍点"

所以O(\(m^2\))转移就好了。

T2

O(nmK)做法显然

正解

考虑扫描线，一次求出一行的f。

当我们加入一个点时，它会对一个正方形区域造成影响。然而，由于相同颜色的点贡献不能重复计算，所以实际它影响的是一个区间。如下图，只用把蓝色部分的答案++就好了。维护一个差分数组。

删除的情况也类似。

现在我们需要一个能支持插入，删除，查找前驱后继的数据结构。

给每一个点开一个bitset。

代码

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<bitset>
using namespace std;

long long n,m,i,j,k,ans1,ans2,S,bzz;
int sum[3][3005][3005];
int a[3005][3005];
long long delta[3005],f[3005];
bitset<3105> B1[100005],B2[100005];
int g[3005][3005],last[100005];

void does2()
{
    for (i=1;i<=n;i++)
        for (j=1;j<=m;j++)
        {
            sum[1][i][j]=sum[1][i-1][j]+sum[1][i][j-1]-sum[1][i-1][j-1]+(a[i][j]==1);
            sum[2][i][j]=sum[2][i-1][j]+sum[2][i][j-1]-sum[2][i-1][j-1]+(a[i][j]==2);
        }
    for (i=1;i<=n-k+1;i++)
    {
        for (j=1;j<=m-k+1;j++)
        {
            S=0;
            if (sum[1][i+k-1][j+k-1]-sum[1][i-1][j+k-1]-sum[1][i+k-1][j-1]+sum[1][i-1][j-1]>0) S++;
            if (sum[2][i+k-1][j+k-1]-sum[2][i-1][j+k-1]-sum[2][i+k-1][j-1]+sum[2][i-1][j-1]>0) S++;
            ans1=max(ans1,S);
            ans2=ans2+S;
        }
    }
    printf("%lld %lld",ans1,ans2);
}

void getg()
{
    for (i=1;i<=100000;i++) last[i]=n+k+1;
    for (j=1;j<=m;j++)
    {
        for (i=n;i>=1;i--)
            g[i][j]=(last[a[i][j]]-i<k),last[a[i][j]]=i;
        for (i=n;i>=1;i--)
            last[a[i][j]]=n+k+1;
    }
}

void ADD(long long x,long long y)
{
    long long Pre,Nex;
    if (B2[a[x][y]][y]) return;
    Pre=m-B1[a[x][y]]._Find_next(m-y+1)+1;
    Nex=B2[a[x][y]]._Find_next(y);
    Nex=Nex-k+1;
    B1[a[x][y]][m-y+1]=1;
    B2[a[x][y]][y]=1;
    if (Nex<=Pre) return;
    Pre=max(max(Pre+1,1ll),y-k+1);
    Nex=min(min(Nex,m+1),y+1);
    if (Nex<=Pre) return;
    delta[Pre]++;
    delta[Nex]--;
}

void DEL(long long x,long long y)
{
    long long Pre,Nex;
    if (g[x][y]) return;
    Pre=m-B1[a[x][y]]._Find_next(m-y+1)+1;
    Nex=B2[a[x][y]]._Find_next(y);
    Nex=Nex-k+1;
    B1[a[x][y]][m-y+1]=0;
    B2[a[x][y]][y]=0;
    if (Nex<=Pre) return;
    Pre=max(max(Pre+1,1ll),y-k+1);
    Nex=min(min(Nex,m+1),y+1);
    if (Nex<=Pre) return;
    delta[Pre]--;
    delta[Nex]++;
}

int main()
{
    freopen("read.in","r",stdin);
//  freopen("b.out","w",stdout);
    scanf("%lld%lld%lld",&n,&m,&k);
    bzz=1;
    for (i=1;i<=n;i++)
        for (j=1;j<=m;j++)
        {
            scanf("%d",&a[i][j]);
            if (a[i][j]>2) bzz=0;
        }
    if (bzz==1)
    {
        does2();
        return 0;
    }
    getg();
    for (i=1;i<=k-1;i++)
        for (j=1;j<=m;j++)
            ADD(i,j);
    for (i=k;i<=n;i++)
    {
        for (j=1;j<=m;j++)
        ADD(i,j);
        for (j=1;j<=m-k+1;j++)
        f[j]=f[j-1]+delta[j],ans1=max(ans1,f[j]),ans2+=f[j];
        for (j=1;j<=m;j++)
        DEL(i-k+1,j);
    }
    printf("%lld %lld",ans1,ans2);
}

T3

O(\(n^3\))求逆矩阵的方法：把矩阵\(A\)与单位矩阵\(I\)放在一起，把\(A\)消成单位矩阵，I就会变成\(A^{-1}\)

正解

找规律发现，答案等于

现在的难点在于求组合数的平方和\(\Sigma_{i=0}^{n}(C^{i}_{n})^2\)

它等于

代码

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define mod 1000000007
using namespace std;

long long n,m,i,j,k,L,pick,ans,T,xs,MI,S;
long long jc[3000005],invjc[3000005];

long long mi(long long x,long long y)
{
    long long s=1;
    while (y>0)
    {
        if (y%2==1) s=s*x%mod;
        x=x*x%mod;
        y/=2;
    }
    return s;
}

long long C(long long a,long long b)
{
    return jc[a]*invjc[b]%mod*invjc[a-b]%mod;
}

int main()
{
    freopen("read.in","r",stdin);
//  freopen("c.out","w",stdout);
    jc[0]=1;
    for (i=1;i<=3000000;i++)
    jc[i]=jc[i-1]*i%mod;
    invjc[3000000]=mi(jc[3000000],mod-2);
    for (i=3000000-1;i>=0;i--)
    {
        invjc[i]=invjc[i+1]*(i+1)%mod;
    }

    scanf("%lld%lld",&n,&m);
    for (i=1;i<=n;i++)
    {
        MI=mi(i,m);
        MI=MI*MI%mod;
        S=MI*(C(2*i,i)-1)%mod;
        ans=(ans+S%mod)%mod;
    }
    printf("%lld",ans);
    return 0;
}