有人可以为我分解一下吗？为什么不能用两次乘法来完成？
复数的乘法
如果将计算所需的乘法次数视为其难度的衡量标准，并且这些计算是使用复数执行的，那么很自然会问需要多少实乘法
评估复杂产品的实部和虚部。自然的
形成复杂产品的方法需要四次实数乘法。
然而，它可以用三个乘法而不是两个乘法来完成。
(a+bi)(c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i
a(c+d) - d(a+b) = ac - bd
(1) (2)
a(c+d) + c(b-a) = ad + bc
(3)
定理 - 计算两个复数的乘积需要三次实数乘法，即使不计算与实常数的乘法。
证明草图 由于复数乘法的实数部分和复数部分都不能在一次实数乘法中确定，如果此计算可以在两次乘法中完成，则将完成，对于 Ci、Wi、Xi、Yi 的某些选择和 Zi 以下列方式。
ac - bd = C₁(W₁a+X₁b+Y₁c+Z₁d)
(W₂a+X₂b+Y₂c+Z₂d)
+ C₂(W₃a+X₃b+Y₃c+Z₃d)
(W₄a+X₄b+Y₄c+Z₄d)
ad + bc = C₃(W₁a+X₁b+Y₁c+Z₁d)
(W₂a+X₂b+Y₂c+Z₂d)
+ C₄(W₃a+X₃b+Y₃c+Z₃d)
(W₄a+X₄b+Y₄c+Z₄d)
这导致了 20 个未知数 Ci、Wi、Xi、Yi 和 Zi 中的 20 个非线性方程，其中 (i = 1,2,3,4)，它们没有实数解，因此无法执行复杂的两个实数乘法的乘法
来源:
门罗，伊恩。 “40-44。” http://dl.acm.org/ 。过程第三届年度 ACM 计算理论研讨会论文集，俄亥俄州，Shaker Heights。埃德。 Michael A. Harrison、Ranan B. Banerji 和 Jeffrey D. Ullman。 Acm，1971 年 5 月 3 日。网络。 2016 年 11 月 26 日。http://dl.acm.org/citation.cfm?doid=800157.805036。
最佳答案
所以，这里被证明的定理基本上是，“即使你可以做任意多的加法、减法和乘法运算，你也不能在不做任何事情的情况下计算 ac-bd 和 ad+bc两个非预定量的三个乘法。”
(注意:此后，我将“两个非预定量的乘法”缩写为“MNPQ(s)”。)
证明首先指出你当然不能只用一个 MNPQ 来计算 { ac−bd, ad+bc } 中的任何一个。因此，您可以仅用两个 MNPQ 计算它们的唯一方法是，如果您可以以某种方式“共享”这些 MNPQ，在 { ac-bd, ad+bc } 中使用它们的两个结果。
顺便说一下，这个证明依赖于一个未说明的前提，即如果你所得到的只是加法、减法和乘以预先确定的常数，那么最终你所做的任何事情都只是输入的线性组合。 (你明白为什么吗？)所以这两个 MNPQ 都是 { a, b, c, d } 的线性组合的乘法，你“分享”它们结果的方式是 { ac−bd, ad+bc是那些 MNPQ 的结果的两种不同的线性组合。 (一个完整的证明需要更彻底的论证，关于一个 MNPQ 的结果可能是另一个论证的可能性，以及最终线性组合不仅包含 MNPQ 的结果而且还包含 { a, b, c, d }; 但这只是标记为“证明草图”，所以我想它不必担心这些事情。)
如果你接受这个前提，那么我们可以把这两个 MNPQ 写成 (W₁a+X₁b+Y₁c+Z₁d)·(W₂a+X₂b+Y₂c+Z₂d) 和 (W₃a+X₃b+Y₃c+Z₃d)·(W₄b+X₄a+X₄c +Z₄d)，以及它们的两个线性组合(ac−bd 和 ad+bc)作为 C₁(MNPQ)₁+C₂(MNPQ)₂ 和 C₃(MNPQ)₃+C₄(MNPQ)₄。如果你然后将所有东西相乘，你就会得到一个方程组来求解——未知数是神奇的常数 W₁、X₂、C₃ 等——但事实证明，这个方程组实际上没有解.因此，没有一组神奇的常数可以启用这种方法，因此这种方法是不可能的，因此您需要执行至少三个 MNPQ 才能计算 ac-bd 和 ad+bc。
关于algorithm - 少于 3 次乘法的两个复数的乘积，我们在Stack Overflow上找到一个类似的问题：https://stackoverflow.com/questions/40857265/