c++ - 积分近似函数的递归

我正在尝试使用自适应梯形规则近似积分。

我有一个粗略的积分近似值:

//Approximates the integral of f across the interval [a,b]
double coarse_app(double(*f)(double x), double a, double b) {
    return (b - a) * (f(a) + f(b)) / 2.0;
}

我有一个很好的积分近似值:

//Approximates the integral of f across the interval [a,b]
double fine_app(double(*f)(double x), double a, double b) {
    double m = (a + b) / 2.0;
    return (b - a) / 4.0 * (f(a) + 2.0 * f(m) + f(b));
}

通过对给定间隔的递减部分的近似求和，直到递归级别太高或粗略和精细近似彼此非常接近为止，可以使此方法自适应:

//Adaptively approximates the integral of f across the interval [a,b] with
//    tolerance tol.
double trap(double(*f)(double x), double a, double b, double tol) {
    double q = fine_app(f, a, b);
    double r = coarse_app(f, a, b);
    if ((currentLevel >= minLevel) && (abs(q - r) <= 3.0 * tol)) {
        return q;
    } else if (currentLevel >= maxLevel) {
        return q;
    } else {
        ++currentLevel;
        return (trap(f, a, b / 2.0, tol / 2.0) + trap(f, a + (b / 2.0), b, tol / 2.0));
    }
}

如果我通过将积分分解为多个部分并在其上使用fine_app来手动计算积分，我会得到一个很好的近似值。但是，当我使用应该为我执行此操作的trap函数时，我的所有结果都太小了。

例如，trap(square，0，2.0，1.0e-2)给出输出0.0424107，其中square函数定义为x ^ 2。但是，输出应约为2.667。这远比在整个时间间隔内运行一次fine_app(值3)要糟糕得多。

从概念上讲，我相信我已经正确实现了它，但是有关C++递归的某些事情并没有达到我的期望。

首次使用C++进行编程，因此欢迎所有改进。

最佳答案

我假设您在其他地方定义了currentLevel。你不想那样做。您还计算不正确的中点。

取a = 3，b = 5:

[a, b / 2.0] = [3, 2.5]
[a + b / 2.0, b] = 2.5, 3]

正确的点应该是[3，4]和[4，5]

该代码应如下所示:

double trap(double(*f)(double x), double a, double b, double tol, int currentLevel) {
    double q = fine_app(f, a, b);
    double r = coarse_app(f, a, b);
    if ((currentLevel >= minLevel) && (abs(q - r) <= 3.0 * tol)) {
        return q;
    } else if (currentLevel >= maxLevel) {
        return q;
    } else {
        ++currentLevel;
        return (trap(f, a, (a + b) / 2.0, tol / 2, currentLevel) + trap(f, (a + b) / 2.0, b, tol / 2, currentLevel));
    }
}

您可以添加一个辅助函数，这样就不必指定currentLevel了:

 double integrate(double (*f)(double x), double a, double b, double tol)
 {
     return trap(f, a, b, tol, 1);
 }

如果我将其称为integrate(square, 0, 2, 0.01)，则得到2.6875的答案，这意味着您需要更低的容差才能收敛到8/3 = 2.6666...7的正确结果。您可以使用Simpson's method的错误条款检查与此相关的确切错误。

关于c++ - 积分近似函数的递归，我们在Stack Overflow上找到一个类似的问题：https://stackoverflow.com/questions/7705034/