我试图找到一条曲线和一个三维曲面的交点，但没有成功如图所示，曲面为圆锥体，曲线为双曲线。
CONE AND THE CURVE
这将模拟光线击中某个曲面我试着用平分法，但似乎没用然后我尝试了牛顿算法，但结果仍然不好。
有没有其他好的算法适合解决这类问题？
最佳答案
问题
您正在搜索曲线-曲面相交算法。请注意，曲线和曲面都可以用隐式形式或参数形式表示隐式曲面由方程F（x，y，z）=0定义，对于二次曲面，F（x，y，z）是x，y，z的二次多项式参数形式的表面由其参数的点值函数S（u，v）定义（例如，可以使用圆锥轴线的距离和极角作为圆锥表面的参数）。曲线通常只以参数形式描述，作为参数t的函数c（t），对于双曲曲线，它可以是二次函数。
隐式曲面
最简单的情况是将问题视为参数曲线与隐式曲面的交集。在这种情况下，你可以用单变量t写出一个方程q（t）=f（c（t））=0。当然，牛顿迭代并不能保证在一般情况下找到所有的解，如果你找到两个q（t）符号不同的点，等分只能找到一个解。
在你的例子中，q（t）是一个四次多项式（在把二次曲线参数化为二次曲面方程之后）。它可以用Ferrari's analytic formula从理论上解决，但我强烈反对，因为它在数值上是非常不稳定的。您可以在这里应用任何流行的多项式解算器，如Jenkins-Traub算法或companion matrix的特征值算法（另请参见this question）。您也可以使用区间数学的方法：例如，您可以递归地将参数t的域区间细分为更小的片段，同时修剪所有肯定不包含零的片段（interval arithmetic将帮助您检测这些片段）。
参数曲面
现在我们可以继续讨论曲线和曲面都用参数表示的情况。我不知道任何解决方案，可以受益于这一事实，你的曲面是圆锥的，你的曲线是双曲线，所以你必须应用一般的曲线曲面相交算法。或者，可以将隐式定义的圆锥体拟合到参数曲面中，然后对四次多项式根使用上面的解。
许多可靠的一般求交算法都是基于细分方法（实际上又是区间数学）一般的想法是不断地把曲线和曲面分成越来越小的部分。一定不会相交的那对碎片会尽快掉下来。在最后，你会有一组小块对，紧紧地包围你的交叉点。为了使交点精确，Yoy可能想从中运行牛顿迭代。
下面是一个示例算法的概要：
从单个曲线段（整个输入曲线）和单个曲面开始
片（整个表面）和这些片的一个潜在相交对（pip）。
将每个曲线分段细分为两半（按参数），将每个曲面分段细分为四个象限（按两个参数）。
对于每个旧的PIP，检查所有8对半曲线与曲面象限如果它们真的不相交，就忘掉它们吧。如果它们可以相交，请将它们另存为新的PIP。
除非所有零件都足够小，否则从步骤2开始用新零件和PIP-s重复。
对于每一对曲线件和曲面件，你必须检查它们是否可能相交，这可以通过检查它们的轴对齐的边界框来容易地完成。此外，还可以将曲线和曲面表示为NURBS，在这种情况下，可以使用凸面外壳作为更紧密的边界体积。
一般来说，这种算法有很多变化和改进。我建议阅读以下文献以获取更深入的知识：
计算机辅助设计与制造中的形状查询。
chapter 4：对于根解算器
section 5.7：对于曲线-曲面相交
PhD of Michael Hohmeyer。
第4.5节：用于曲线-曲面相交
第4.1节和第4.2节：凸面船体交叉口（如果你足够勇敢）。
底线
如果你正在寻找一个简单而有效的解决方案，并且你确信双曲线和圆锥是你唯一需要担心的事情，那么你最好使用圆锥的隐式定义，并用一些标准的数值算法从一个很好的库中解出四次方程。
关于algorithm - 如何找到3D曲线和3D曲面的交点？，我们在Stack Overflow上找到一个类似的问题：https://stackoverflow.com/questions/34486959/