更新：我下面的术语是错误的。我在“lerp2d”中描述的“forward”算法（我需要与之相反）有4个任意角。它沿每条边都是线性的，但所有4条边都可以独立拉伸；它不是双线性的。
我在标题中留下了双线性-如果你来这里寻找“双线性的逆”，例如在x和y中独立拉伸，请参见Spektre's answer。
如果需要更一般的情况（由任意四边形定义的拉伸），请参见接受的答案。
在对这个问题的评论中也可以看到人们给出的链接。
原题：
双线性插值计算起来很简单。
但我需要一个做逆运算的算法。
（算法在伪代码或任何广泛使用的计算机语言中对我都很有用）
例如，这里是双线性插值的visual basic实现。
' xyWgt ranges (0..1) in x and y. (0,0) will return X0Y0,
(0,1) will return X0Y1, etc.
' For example, if xyWgt is relative location within an image,
' and the XnYn values are GPS coords at the 4 corners of the image,
' The result is GPS coord corresponding to xyWgt.
' E.g. given (0.5, 0.5), the result will be the GPS coord at center of image.
Public Function Lerp2D(xyWgt As Point2D, X0Y0 As Point2D, X1Y0 As Point2D, X0Y1 As Point2D, X1Y1 As Point2D) As Point2D
Dim xY0 As Point2D = Lerp(X0Y0, X1Y0, xyWgt.X)
Dim xY1 As Point2D = Lerp(X0Y1, X1Y1, xyWgt.X)
Dim xy As Point2D = Lerp(xY0, xY1, xyWgt.Y)
Return xy
End Function
在哪里？
' Weighted Average of two points.
Public Function Lerp(ByVal a As Point2D, ByVal b As Point2D, ByVal wgtB As Double) As Point2D
Return New Point2D(Lerp(a.X, b.X, wgtB), Lerp(a.Y, b.Y, wgtB))
End Function
和
' Weighted Average of two numbers.
' When wgtB==0, returns a, when wgtB==1, returns b.
' Implicitly, wgtA = 1 - wgtB. That is, the weights are normalized.
Public Function Lerp(ByVal a As Double, ByVal b As Double, ByVal wgtB As Double) As Double
Return a + (wgtB * (b - a))
End Function
在一维中，我已经确定了LERP的逆函数：
' Calculate wgtB that would return result, if did Lerp(a, b, wgtB).
' That is, where result is, w.r.t. a and b.
' < 0 is before a, > 1 is after b.
Public Function WgtFromResult(ByVal a As Double, ByVal b As Double, ByVal result As Double) As Double
Dim denominator As Double = b - a
If Math.Abs(denominator) < 0.00000001 Then
' Avoid divide-by-zero (a & b are nearly equal).
If Math.Abs(result - a) < 0.00000001 Then
' Result is close to a (but also to b): Give simplest answer: average them.
Return 0.5
End If
' Cannot compute.
Return Double.NaN
End If
' result = a + (wgt * (b - a)) =>
' wgt * (b - a) = (result - a) =>
Dim wgt As Double = (result - a) / denominator
'Dim verify As Double = Lerp(a, b, wgt)
'If Not NearlyEqual(result, verify) Then
' Dim test = 0 ' test
'End If
Return wgt
End Function
现在我需要在二维中做同样的事情：
' Returns xyWgt, which if given to Lerp2D, would return this "xy".
' So if xy = X0Y0, will return (0, 0). if xy = X1Y0, will return (1, 0), etc.
' For example, if 4 corners are GPS coordinates in corners of an image,
' and pass in a GPS coordinate,
' returns relative location within the image.
Public Function InverseLerp2D(xy As Point2D, X0Y0 As Point2D, X1Y0 As Point2D, X0Y1 As Point2D, X1Y1 As Point2D) As Point2D
' TODO ????
End Function
最佳答案
为了简化，我们首先考虑一个内插值z。
假设四个值z00、z01、z10、z10，以及应用于第一个和第二个索引的两个权重w0和w1，给出
z0=z00+w0×（z10-z00）
z1=z01+w0×（z11-z01）
最后
Z=z0+w1×（z1-z0）
=z00+w0×（z10-z00）+w1×（z01-z00）+w1×w0×（z11-z10-z01+z00）
所以，对于你的问题，你必须把一个二维二次方程
x=x00+w0×（x10-x00）+w1×（x01-x00）+w1×w0×（x11-x10-x01+x00）
y=y00+w0×（y10-y00）+w1×（y01-y00）+w1×w0×（y11-y10-y01+y00）
不幸的是，没有一个简单的公式可以从x和y中恢复w0和w1。但是，您可以将其视为一个非线性最小二乘问题，并将其最小化
（xw（w0，w1）-x）2+（yw（w0，w1）-y）2
你可以用Levenberg–Marquardt algorithm高效地完成。
编辑：进一步思考
我突然想到，你可能对从（x，y）到（w0，w1）的插值而不是实际的逆插值感到满意。从rev（fwd（w0，w1））可能比实际的rev（w0，w1））离（w0，w1）更远的角度来看，这将不太准确。
在不规则网格而不是规则网格上进行插值这一事实将使这成为一个更棘手的命题。理想情况下，您应该将（x，y）点与不重叠的三角形连接起来，并使用barycentric coordinates进行线性插值。
为了数值稳定性，你应该避免浅的尖三角形。幸运的是，Delaunay triangulation满足了这一要求，并且在两个维度上构建并不太困难。
如果希望反向插值采用与正向插值相似的形式，可以使用basis functions
1个
十
是的
X×Y轴
计算系数ai，bi，ci和di（i等于0或1），这样
w0=a0+b0×x+c0×y+d0×x×y
W1=A1+B1×X+C1×Y+D1×X×Y
通过替换x，y，w0和w1的相关已知值，你将得到四个联立线性方程组，你可以解出每个w的系数。
理想情况下，您应该使用数值稳定的矩阵反演算法，该算法可以处理接近奇异的矩阵（例如SVD），但如果您小心的话，可能可以避开Gaussian elimination。
对不起，我不能给你任何简单的选择，但恐怕这真的是一个相当棘手的问题！