关于 C 中 DBL_EPSILON 和 Machine-Epsilon 的混淆

Machine-Epsilon 似乎有两个定义:

将实数四舍五入为下一个浮点数时的最大相对误差。

最小正数，使得 1.0 + machine_eps != 1.0

首先，我看不出这两者是如何关联的。
第二个 DBL_EPSILON 在我的理解中不符合定义 2:

以下程序打印:

DBL_EPSILON:            2.220446049250313080847e-16
DBL_EPSILON / 2:        1.110223024625156540424e-16
1.0 + DBL_EPSILON:      1.000000000000000222045e+00
1.0 + DBL_EPSILON / 2:  1.000000000000000000000e+00

m_eps                   2.220446049250313080847e-16
m_eps -1u               2.220446049250312834328e-16

1.0 + m_eps -1u         1.000000000000000222045e+00

(m_eps -1u < DBL_EPSILON):     True
(m_eps -1u == DBL_EPSILON/2):  False

m_eps -1u 应该是一个更小但非常接近 DBL_EPSILON 的数字。和
定义 2) 1.0 + m_eps -1u 不应该评估为 1.0 吗？为什么有必要
为此将 DBL_EPSILON 划分为 2？

#include <stdout.h>
#include <stdint.h>
#inlcude <float.h>

union Double_t {
    double f;
    int64_t i;
};

int main(int argc, char *argv[])
{
    union Double_t m_eps;

    printf("DBL_EPSILON: \t\t%.*e\n", DECIMAL_DIG, DBL_EPSILON);
    printf("DBL_EPSILON / 2: \t%.*e\n", DECIMAL_DIG, DBL_EPSILON / 2);

    printf("1.0 + DBL_EPSILON: \t%.*e\n", DECIMAL_DIG, 1.0 + DBL_EPSILON);
    printf("1.0 + DBL_EPSILON / 2: \t%.*e\n", DECIMAL_DIG, 1.0 + DBL_EPSILON / 2);

    m_eps.f = DBL_EPSILON;
    printf("\nm_eps \t\t\t%.*e\n", DECIMAL_DIG, m_eps.f);

    m_eps.i -= 1;
    printf("m_eps -1u\t\t%.*e\n", DECIMAL_DIG, m_eps.f);
    printf("\n1.0 + (m_eps -1u)\t\t%.*e\n", DECIMAL_DIG, 1.0 + m_eps.f);

    printf("\n(m_eps -1u < DBL_EPSILON): %s\n",
            (m_eps.f < DBL_EPSILON) ? "True": "False"
            );

    printf("(m_eps -1u == DBL_EPSILON/2): %s\n",
            (DBL_EPSILON/2 == m_eps.f) ? "True": "False"
            );
    return 0;
}

最佳答案

DBL_EPSILON 的错误定义，即您引用的“最小正数，使得 1.0 + machine_eps != 1”，到处都是。你甚至可以在标准库和 StackOverflow 上的其他很好的答案中找到它。当在标准库中找到时，它位于一个值附近的注释中，该值显然不对应于注释，但对应于正确的定义:



C99 标准是这样表述的:



这可能是造成您困惑的原因。忘记错误的定义。我写了一篇关于这个 here 的咆哮(这很像你的问题)。

您问题中的另一个定义，“将实数四舍五入到下一个浮点数时的最大相对误差”，当四舍五入的结果是正常的浮点数时是正确的。将实数四舍五入到有限浮点数会产生一个实数的 1/2 ULP 以内的浮点数。对于普通的浮点数，这个 1/2 ULP 绝对误差会转化为一个相对误差，该误差可以在 DBL_EPSILON/2 和 DBL_EPSILON/4 之间，具体取决于浮点数在其 binade 中的位置。