haskell - 使用标准AST实现同级融合

给定一个简单的数据处理DSL的深度嵌入[1]:

{-# LANGUAGE GADTs, StandaloneDeriving #-}

import Data.List
import Text.Show.Functions

data Dist e where

    Concat :: [Dist [a]] -> Dist [a]

    -- We use ConcatMap as a primitive because it can express e.g.
    -- both map and filter.
    ConcatMap :: (a -> [b]) -> Dist [a] -> Dist [b]

    -- Expensive to traverse input (think distributed file).
    Input :: Dist [a]

    Let :: Name -> Dist e -> Dist e -> Dist e

    -- We're not dealing with name collisions here for simplicity.
    Var :: Name -> Dist e

deriving instance Show (Dist e)

type Name = String

我们可以像这样实现熟悉的生产者-消费者融合

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Producer-consumer fusion

-- Fuses adjacent ConcatMaps.
fuseProducerConsumer :: Dist e -> Dist e
fuseProducerConsumer = go
  where
    go :: Dist e -> Dist e
    go (ConcatMap f (ConcatMap g e)) = ConcatMap (concatMap f . g) (go e)
    go e = e

一个显示其工作原理的小例子:

-- Should be able to fuse this to a single ConcatMap.
producerConsumerFusable :: Dist [Int]
producerConsumerFusable = ConcatMap (singleton . (+ 1))
                          (ConcatMap (singleton . (* 2)) Input)

singleton :: a -> [a]
singleton = (: [])

-- Expected result after optimization.
expectedProducerConsumerResult =
    ConcatMap (concatMap (singleton . (+ 1)) . (singleton . (* 2))) Input

还有另一种鲜为人知的[2]融合类型，称为同级融合，它消除了同一输入的多次遍历。这个想法是取代类似的东西

(map f xs, map g xs)

与

let ys = map (\ x -> (f x, g x)) xs
in (map fst ys, map snd ys)

如果遍历ys比遍历xs便宜得多(例如，如果xs是网络上的文件)，或者我们可以使用生产者－消费者融合稍后将取消标记与其他遍历融合在一起，这是一个胜利。

使用上面的标准AST可以轻松实现生产者-消费者融合，但是我看不到如何使用这种表示形式实现同级融合。

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Sibling fusion

-- Fuses ConcatMaps that consumer the same input.
fuseSibling :: Dist e -> Dist e
fuseSibling = id  -- ???

我们想要发生的一个例子:

-- The use of Concat below is not important, we just need some Dist e
-- that contains an opportunity for sibling fusion.
siblingFusable :: Dist [Int]
siblingFusable = Let "xs" Input $  -- shares one input
                 Concat [ConcatMap (singleton . (+ 1)) (Var "xs"),
                         ConcatMap (singleton . (* 2)) (Var "xs")]

-- Expected result after optimization.
expectedSiblingResult =
    Let "xs" Input $
    (Let "ys" (ConcatMap
              (mapTwo (singleton . (+ 1)) (singleton . (* 2)))
              (Var "xs"))  -- only one traversal of "xs" and thus Input
     (Concat [ConcatMap lefts  (Var "ys"),
              ConcatMap rights (Var "ys")]))

-- Some helper functions:
lefts :: Either a b -> [a]
lefts (Left x) = [x]
lefts _        = []

rights :: Either a b -> [b]
rights (Right x) = [x]
rights _         = []

mapTwo :: (a -> [b]) -> (a -> [c]) -> a -> [Either b c]
mapTwo f g x = map Left (f x) ++ map Right (g x)

问题在于，尽管我们可以通过在ConcatMap ... (ConcatMap ... ...)上进行模式匹配来轻松发现消费者与生产者的融合机会，但单个输入的两个消费者却带来同级融合机会，而在AST中，它们不一定彼此“接近”同样的方式。

如果我们可以沿相反的方向遍历AST，即从Input开始，则很容易发现一个输入的并行使用方。但鉴于每个操作仅引用其输入，而不引用其输出，因此我看不到如何执行此操作。

问题:是否可以使用此AST表示形式来实现同级融合，或者是否存在其他允许我们实现同级融合的(例如基于图形或基于连续的形式)表示？最好在仍使用GADT进行类型安全的同时。

此DSL与FlumeJava DSL类似，用于分布式计算:http://pages.cs.wisc.edu/~akella/CS838/F12/838-CloudPapers/FlumeJava.pdf

可能不太为人所知，因为这显然不是单流程程序的胜利，在该流程中，额外的簿记可能超过避免回溯输入的代价。但是，如果输入的是驻留在网络上的1TB文件，那将是一个很大的胜利。

最佳答案

我创造了一个怪物，现在我将在世界上释放它。这是您在Idris中进行转换的一个实现。

我首先在Haskell中开始研究这个问题，问题在于我们实质上是在寻找一种为每个变量收集一组函数f1 :: a -> b1, f2 :: a -> b2, ...的方法。为此，在Haskell中提出一个很好的表示非常棘手，因为一方面，我们想将b1, b2, ...类型隐藏在一个存在的事物后面，但是另一方面，当我们看到ConcatMap时，我们需要构造一个函数来提取正确的从[Either b1 (Either b2 (...))]坐标中选择正确的类型。

因此，首先，通过使用范围内的变量对Dist进行索引，并对变量的出现使用De Bruijn索引，确保我们的变量引用具有良好的作用域和类型:

%default total

Ctx : Type
Ctx = List Type

data VarPtr : Ctx -> Type -> Type where
  here : VarPtr (a :: ctx) a
  there : VarPtr ctx b -> VarPtr (a :: ctx) b

data Dist : Ctx -> Type -> Type where
  Input : Dist ctx a
  Concat2 : Dist ctx a -> Dist ctx a -> Dist ctx a
  ConcatMap : (a -> List b) -> Dist ctx a -> Dist ctx b
  Let : Dist ctx a -> Dist (a :: ctx) b -> Dist ctx b
  Var : VarPtr ctx a -> Dist ctx a

可以看出，我对Dist做了两个简化:

无论如何，一切总是像列表一样的东西，例如ConcatMap的类型是Dist ctx a -> Dist ctx b而不是Dist ctx (List a) -> Dist ctx (List b)。仅使用原始问题中提供的组合器，无论如何，只能构建列表的Dist值。这使实现更简单(换句话说，在进行此更改之前，我遇到了各种不必要的复杂情况)。

Concat2是二进制而不是n-ary。将下面的fuseHoriz更改为 super n级连接是读者的一项练习。

让我们首先实现垂直融合，只是弄湿我们的脚:

fuseVert : Dist ctx a -> Dist ctx a
fuseVert Input = Input
fuseVert (Concat2 xs ys) = Concat2 (fuseVert xs) (fuseVert ys)
fuseVert (ConcatMap f d) = case fuseVert d of
    ConcatMap g d' => ConcatMap (concatMap f . g) d'
    d' => ConcatMap f d'
fuseVert (Let d0 d) = Let (fuseVert d0) (fuseVert d)
fuseVert (Var k) = Var k

到现在为止还挺好:

namespace Examples
  f : Int -> List Int
  f = return . (+1)

  g : Int -> List Int
  g = return . (* 2)

  ex1 : Dist [] Int
  ex1 = ConcatMap f $ ConcatMap g $ Input

  ex1' : Dist [] Int
  ex1' = ConcatMap (concatMap f . g) $ Input

  prf : fuseVert ex1 = ex1'
  prf = Refl

现在是有趣的部分。我们需要良好地表示“来自同一域的功能集合”，以及一种指向该集合中特定功能(具有特定共域)的方法。我们将从ConcatMap f (Var v)键入的v调用中收集这些函数；然后将 call 本身替换为一个孔，当我们完成所有收集后，该孔将被填充。

当我们遇到Concat2 d1 d2时，我们需要合并从两侧收集的函数，然后减弱d1和d2中的漏洞以覆盖此扩展集合。
由于这个原因，我使用二叉树而不是平面列表:因此，弱化很容易实现。

因为我正在重用here / there术语，所以它进入了自己的 namespace :

namespace Funs
  data Funs : Type -> Type where
    None : Funs a
    Leaf : (a -> List b) -> Funs a
    Branch : Funs a -> Funs a -> Funs a

  instance Semigroup (Funs a) where
    (<+>) = Branch

  data FunPtr : Funs a -> Type -> Type where
    here : FunPtr (Leaf {b} _) b
    left : FunPtr fs b -> FunPtr (Branch fs _) b
    right : FunPtr fs b -> FunPtr (Branch _ fs) b

现在，我们已经有了一个集合，可以表示应用于给定变量的所有函数的集合，我们终于可以在实现水平融合方面取得一些进展。

重申一下，目标是将类似

let xs = Input :: [A]
in Concat2 (E $ ConcatMap f xs) (F $ ConcatMap g xs)
where
  f :: A -> [B]
  g :: A -> [C]

变成像

let xs = Input :: [A]
    xs' = ConcatMap (\x -> map Left (f x) ++ map Right (g x)) xs :: [(Either B C)]
in Concat2 (E $ ConcatMap (either return (const []) xs') (F $ ConcatMap (either (const []) return) xs')

因此，首先，我们需要能够从应用于xs'的函数集合中对生成器(xs的定义)进行代码生成:

  memoType : Funs a -> Type
  memoType None = ()
  memoType (Leaf {b} _) = b
  memoType (Branch fs1 fs2) = Either (memoType fs1) (memoType fs2)

  memoFun : (fs : Funs a) -> (a -> List (memoType fs))
  memoFun None = const []
  memoFun (Leaf f) = f
  memoFun (Branch fs1 fs2) = (\xs => map Left (memoFun fs1 xs) <+> map Right (memoFun fs2 xs))

  memoExpr : (fs : Funs a) -> Dist (a :: ctx) (memoType fs)
  memoExpr fs = ConcatMap (memoFun fs) (Var here)

如果我们以后无法查看这些记录的结果，将不会有太大用处:

  lookupMemo : {fs : Funs a} -> (i : FunPtr fs b) -> (memoType fs -> List b)
  lookupMemo {fs = Leaf f} here = \x => [x]
  lookupMemo {fs = (Branch fs1 fs2)} (left i) = either (lookupMemo i) (const [])
  lookupMemo {fs = (Branch fs1 fs2)} (right i) = either (const []) (lookupMemo i)

现在，当我们遍历源代码树时，我们当然可以同时收集(通过ConcatMap)几个变量的用法，因为完全有可能像

let xs = ...
in Concat2 (ConcatMap f xs) (let ys = ... in ... (ConcatMap g xs) ...)

这将与变量上下文一起逐步填充，因为在每个Let绑定(bind)中，我们还可以生成新变量的所有用法的备注。

namespace Usages
  data Usages : Ctx -> Type where
    Nil : Usages []
    (::) : {a : Type} -> Funs a -> Usages ctx -> Usages (a :: ctx)

  unused : {ctx : Ctx} -> Usages ctx
  unused {ctx = []} = []
  unused {ctx = _ :: ctx} = None :: unused {ctx}

  instance Semigroup (Usages ctx) where
    [] <+> [] = []
    (fs1 :: us1) <+> (fs2 :: us2) = (fs1 <+> fs2) :: (us1 <+> us2)

我们将为这些综合变量保留空间:

  ctxDup : {ctx : Ctx} -> Usages ctx -> Ctx
  ctxDup {ctx = []} us = []
  ctxDup {ctx = t :: ts} (fs :: us) = (memoType fs) :: t :: ctxDup us

  varDup : {us : Usages ctx} -> VarPtr ctx a -> VarPtr (ctxDup us) a
  varDup {us = _ :: _} here = there here
  varDup {us = _ :: _} (there v) = there $ there $ varDup v

现在，我们终于可以定义优化器的内部中间表示形式:“带孔的Dist”。每个孔代表一个函数在变量上的应用，当我们知道所有用法并且在范围内拥有它们的所有综合变量时，将填充该孔:

namespace HDist
  data Hole : Usages ctx -> Type -> Type where
    here : FunPtr u b -> Hole (u :: us) b
    there : Hole us b -> Hole (_ :: us) b

  resolve : {us : Usages ctx} -> Hole us b -> Exists (\a => (VarPtr (ctxDup us) a, a -> List b))
  resolve (here i) = Evidence _ (here, lookupMemo i)
  resolve (there h) with (resolve h) | Evidence a (v, f) = Evidence a (there $ there v, f)

  data HDist : Usages ctx -> Type -> Type where
    HInput : HDist us a
    HConcat : HDist us a -> HDist us a -> HDist us a
    HConcatMap : (b -> List a) -> HDist us b -> HDist us a
    HLet : HDist us a -> (fs : Funs a) -> HDist (fs :: us) b -> HDist us b
    HVar : {ctx : Ctx} -> {us : Usages ctx} -> VarPtr ctx a -> HDist us a
    HHole : (hole : Hole us a) -> HDist us a

因此，一旦我们有了一个有漏洞的Dist，将其填充就可以解决它:

fill : HDist us a -> Dist (ctxDup us) a
fill HInput = Input
fill (HConcat e1 e2) = Concat2 (fill e1) (fill e2)
fill (HConcatMap f e) = ConcatMap f $ fill e
fill (HLet e0 fs e) = Let (fill e0) $ Let (memoExpr fs) $ fill e
fill (HVar x) = Var (varDup x)
fill (HHole h) with (resolve h) | Evidence a (v, f) = ConcatMap f $ Var v

因此，水平融合仅是肘部润滑脂的问题:将Dist ctx a转换为HDist us a，以便将每个ConcatMap f (Var v)转换为HHole。当从Usages的两个侧面组合两个Concat2时，我们需要做一些额外的有趣的舞蹈来转移漏洞。

weakenHoleL : Hole us1 a -> Hole (us1 <+> us2) a
weakenHoleL {us1 = _ :: _} {us2 = _ :: _} (here i) = here (left i)
weakenHoleL {us1 = _ :: _} {us2 = _ :: _} (there h) = there $ weakenHoleL h

weakenHoleR : Hole us2 a -> Hole (us1 <+> us2) a
weakenHoleR {us1 = _ :: _} {us2 = _ :: _} (here i) = here (right i)
weakenHoleR {us1 = _ :: _} {us2 = _ :: _} (there h) = there $ weakenHoleR h

weakenL : HDist us1 a -> HDist (us1 <+> us2) a
weakenL HInput = HInput
weakenL (HConcat e1 e2) = HConcat (weakenL e1) (weakenL e2)
weakenL (HConcatMap f e) = HConcatMap f (weakenL e)
weakenL {us1 = us1} {us2 = us2} (HLet e fs x) = HLet (weakenL e) (Branch fs None) (weakenL {us2 = None :: us2} x)
weakenL (HVar x) = HVar x
weakenL (HHole hole) = HHole (weakenHoleL hole)

weakenR : HDist us2 a -> HDist (us1 <+> us2) a
weakenR HInput = HInput
weakenR (HConcat e1 e2) = HConcat (weakenR e1) (weakenR e2)
weakenR (HConcatMap f e) = HConcatMap f (weakenR e)
weakenR {us1 = us1} {us2 = us2} (HLet e fs x) = HLet (weakenR e) (Branch None fs) (weakenR {us1 = None :: us1} x)
weakenR (HVar x) = HVar x
weakenR (HHole hole) = HHole (weakenHoleR hole)

fuseHoriz : Dist ctx a -> Exists {a = Usages ctx} (\us => HDist us a)
fuseHoriz Input = Evidence unused HInput
fuseHoriz (Concat2 d1 d2) with (fuseHoriz d1)
  | Evidence us1 e1 with (fuseHoriz d2)
    | Evidence us2 e2 =
        Evidence (us1 <+> us2) $ HConcat (weakenL e1) (weakenR e2)
fuseHoriz {ctx = _ :: ctx} (ConcatMap f (Var here)) =
    Evidence (Leaf f :: unused) (HHole (here here))
fuseHoriz (ConcatMap f d) with (fuseHoriz d)
  | Evidence us e = Evidence us (HConcatMap f e)
fuseHoriz (Let d0 d) with (fuseHoriz d0)
  | Evidence us0 e0 with (fuseHoriz d)
    | Evidence (fs :: us) e =
        Evidence (us0 <+> us) $ HLet (weakenL e0) (Branch None fs) $ weakenR {us1 = None :: us0} e
fuseHoriz (Var v) = Evidence unused (HVar v)

我们可以通过将它与fuseVert结合使用并将其提供给fill来使用这种怪物:

fuse : Dist [] a -> Dist [] a
fuse d = fill $ getProof $ fuseHoriz . fuseVert $ d

然后:

namespace Examples
  ex2 : Dist [] Int
  ex2 = Let Input $
        Concat2 (ConcatMap f (Var here))
                (ConcatMap g (Var here))

  ex2' : Dist [] Int
  ex2' = Let Input $
         Let (ConcatMap (\x => map Left [] ++ map Right (map Left (f x) ++ map Right (g x))) (Var here)) $
         Concat2 (ConcatMap f' (Var here)) (ConcatMap g' (Var here))
    where
      f' : Either () (Either Int Int) -> List Int
      f' = either (const []) $ either return $ const []

      g' : Either () (Either Int Int) -> List Int
      g' = either (const []) $ either (const []) $ return

  prf2 : fuse ex2 = ex2'
  prf2 = Refl

附录

我希望我可以将fuseVert融合到fuseHoriz中，因为我认为它所需要的只是一个额外的情况:

fuseHoriz (ConcatMap f (ConcatMap g d)) = fuseHoriz (ConcatMap (concatMap f . g) d)

但是，这使Idris终止检查程序感到困惑，除非我在assert_smaller和ConcatMap (concatMap f . g) d上添加了ConcatMap f (ConcatMap g d))，但我不明白为什么，因为其中一层比另一层多一层ConcatMap构造函数。

关于haskell - 使用标准AST实现同级融合，我们在Stack Overflow上找到一个类似的问题：https://stackoverflow.com/questions/24712273/