变截距面板数据模型
变截距面板数据模型理论介绍
混合效应模型
背景思想
回归公式可以忽略个体与时间变化的差异，因此所有的数据特征可以通过一个公式进行刻画。进行数据的大杂烩、乱炖。为什么采取这么直接粗暴的方式呢？因为每个品种的菜(个体与时间维度)都很少，每一个品种的菜都不能够做出完整一盘菜，只能将所有的菜杂七杂八的混合起来乱炖。乱炖虽说精度不高，可是总比没法处理要好很多。
模型假定
1.\(E(\varepsilon_{it})=0\);
2.\(var(\varepsilon)=\sigma_\varepsilon为常数\)；
3. \(\varepsilon_{it}与X_{it}不相关\);
公式：
\(Y_{it}=\alpha + X_{it}' \beta + \varepsilon_{it},i = 1,2,3,...,N;t=1,2,3,...,T\)
估计方法展示
数据结构展示：
估计方法：
这个模型是将所有的数据\((y,x_1,x_2,x_3,x_4)\)，直接导入公式\(Y_{it}=\alpha + X_{it}' \beta + \varepsilon_{it},i = 1,2,3,...,N;t=1,2,3,...,T\)进行回归，只能求出一组\((\beta_{1},\beta_{2},..,\beta_{k})'\)，意味着\(\beta\)在不同个体、不同时点上都是同一组，它不会因为时间或个体而发生变动。
固定效应模型
背景思想
当你拥有蔬菜的品种足够多，你就可以依据他们的味道单独做一些小炒菜。有一些影响因素A随着一些条件的改变而改变，但是这个因素A并未通过\(X\)观测变量纳入模型，比如说我们研究消费函数，\(C = \alpha + \beta Y + \varepsilon\), 这里的\(\alpha\)叫做自发消费，这个自发性消费是可能和个人特征、所处的社会文化、教育等未观测变量有关，换句话说，截距项 \(\alpha\) 和个体某些未观测到的特质有关，而不和\(Y\)有关。\(\alpha\)和\(\varepsilon\)都是代表了不可观测因素的影响，前者的影响因素是有趋势的(常数也是一种趋势)，后者的影响因素是无趋势的。更简单的理解就是，\(\alpha\)存在的意义就是为了使\(\varepsilon\)拥有零均值。
- 当这个截距项与个体特征相关时，我们称为个体固定效应模型。
- 当这个截距项与时间特征有关时，我们称为时间固定效应模型。
- 同理，和A潜在变量有关，我们就可以称它为A的固定效应模型。
- 当这个截距项与个体特征和时间特征都相关时，我们称为双固定效应模型。
- 同理，也可以同时依据三种或三种以上的变量进行分类，回归得出它们影响的截距项的估计值。
个体固定效应模型
模型假设
1.\(E(\varepsilon_{it})=0\);
2.\(var(\varepsilon)=\sigma_\varepsilon为常数\)；
3 \(\varepsilon_{it}与X_{it}不相关\);
4. \(\alpha_i 与X_{it}相关\)
5. \(E(\alpha_i)=0\)
模型公式
\(Y_{it}=\alpha_0 +\alpha_i + X_{it}' \beta + \varepsilon_{it},i = 1,2,3,...,N;t=1,2,3,...,T\)
补充：也写为
\(Y_{it}=u_i+ X_{it}' \beta + \varepsilon_{it},i = 1,2,3,...,N;t=1,2,3,...,T\)
\(u_i = \alpha_0 +\alpha_i, E(u_i)= \alpha_0,E(\alpha_i)=0\)
估计方法展示
数据结构如下：
1.组内（within）估计（离差估计）
离差估计就是剔除常数项，然后进行估计，首先明白我们的目标：分别计算\(a,b,c,d,e\)组内的截距和各自的组内\(\beta\) .其实，不需要离差就可以回归。将a,b,c,d,e组的数据分别带入\(Y_{it}=\alpha_0 +\alpha_i + X_{it}' \beta + \varepsilon_{it},i = 1,2,3,...,N;t=1,2,3,...,T\)，就可以得到结果。
离差方差推导
原方程：
\(Y_{it}=\alpha_0 +\alpha_i + X_{it}' \beta + \varepsilon_{it},i = 1,2,3,...,N;t=1,2,3,...,T\)
求均值方程：
\(\bar Y_{i}=\alpha_0 +\alpha_i + \bar X_{i}' \beta + \bar \varepsilon_{i},i = 1,2,3,...,N;t=1,2,3,...,T\)
离差变换（原方程减均值方程）：
\(Y_{it}-\bar Y_{i}=\alpha_0 +\alpha_i -(\alpha_0 +\alpha_i)+ X_{it}' \beta - \bar X_{i}' \beta+ \varepsilon_{it}-\bar \varepsilon_{i}= X_{it}' \beta - \bar X_{i}' \beta+ \varepsilon_{it}-\bar \varepsilon_{i},i = 1,2,3,...,N;t=1,2,3,...,T\)
\(\bar Y_i= \frac{1}{T}\displaystyle\sum_{t=1}^T(Y_{it})\)
\(\bar X_i= \frac{1}{T}\displaystyle\sum_{t=1}^T(X_{it})\)带入离差数据求解,文字描述
通过\((y,x_1,x_2,x_3,x_4)\)计算组内时间上的均值\(\bar{(y,x_1,x_2,x_3,x_4)}\)，然后计算离差\((y,x_1,x_2,x_3,x_4)- \bar{(y,x_1,x_2,x_3,x_4)}\),带入离差方程\(Y_{it}-\bar Y_{i}= X_{it}' \beta - \bar X_{i}' \beta+ \varepsilon_{it}-\bar \varepsilon_{i},i = 1,2,3,...,N;t=1,2,3,...,T\)进行估计。利用估计出的\(\beta\)带入均值方程\(\bar Y_{i}=\alpha_0 +\alpha_i + \bar X_{i}' \beta + \bar \varepsilon_{i},i = 1,2,3,...,N;t=1,2,3,...,T\)，求解组内的(\(\alpha_0 +\alpha_i\))
通过上一步\(N\)个组的(\(\alpha_0 +\alpha_i\))，求解\(\alpha_0 = \frac{1}{N}\displaystyle\sum_{t=1}^N(\alpha_0 +\alpha_i)\),依据假设5：\(E(\alpha_i)=0\)
再求解\(\alpha_i = (\alpha_0 +\alpha_i) - \alpha_0\)
2.一阶差分估计
原理： 因为\(\alpha_0 +\alpha_i\)是不受时间影响的，所以我们可以使用差分方法消去常数项
- 差分方程推导
原方程：
\(Y_{it}=\alpha_0 +\alpha_i + X_{it}' \beta + \varepsilon_{it},i = 1,2,3,...,N;t=1,2,3,...,T\)
上一期方程：
\(Y_{i,t-1}=\alpha_0 +\alpha_i + X_{i,t-1}' \beta + \varepsilon_{i,t-1},i = 1,2,3,...,N;t=1,2,3,...,T\)
原方程减上一期方程：
\(Y_{it}-Y_{i,t-1}=\alpha_0 +\alpha_i + X_{it}' \beta + \varepsilon_{it}-\alpha_0 - \alpha_i - X_{i,t-1}' \beta - \varepsilon_{i.t-1} = X_{it}' \beta -X_{i,t-1}' \beta + \varepsilon_{it}- \varepsilon_{i,t-1}\) - 数据代入求解即可。
- 此方法无法求解截距项。
3.LSDV(最小二乘虚拟变量法)
学过计量的小伙伴们应该熟悉虚拟变量法，将个体差异以截距项形式的虚拟变量加入。
估计方程形式：
\(Y = D \alpha+X\beta + \varepsilon\)
\(D=\begin{pmatrix} D_1 & D_2&D_3&...&D_N\end{pmatrix}\)
其中：
\(D_N=\begin{cases} 1 &\text{if } 为N组 \\ 0 &\text{if } 不为N组\end{cases}\)
时点固定效应模型
模型假设
1.\(E(\varepsilon_{it})=0\);
2.\(var(\varepsilon)=\sigma_\varepsilon为常数\)
3 \(\varepsilon_{it}与X_{it}不相关\);
4. \(\lambda_i 与X_{it}相关\)；
模型公式
\(Y_{it}=\lambda_0 +\lambda_i + X_{it}' \beta + \varepsilon_{it},i = 1,2,3,...,N;t=1,2,3,...,T\)
估计方法展示
数据结构如下：
LSDV(最小二乘虚拟变量法)
学过计量的小伙伴们应该熟悉虚拟变量法，将时间段以截距项形式的虚拟变量加入。
估计方程形式：
\(Y = D\lambda+X\beta + \varepsilon\)
\(D=\begin{pmatrix} D_1 & D_2&D_3&...&D_T\end{pmatrix}\)
其中：
\(D_T=\begin{cases} 1 &\text{if } 为T时期 \\ 0 &\text{if } 不为T时期\end{cases}\)
个体时点固定效应模型
模型假设
1 \(E(\varepsilon_{it})=0\);
2 \(var(\varepsilon)=\sigma_\varepsilon为常数\)
3 \(\varepsilon_{it}与X_{it}不相关\);
4 \(\lambda_i 与X_{it}相关\)；
5 \(\alpha_i 与X_{it}相关\)；
6 \(E(\alpha_i)=0\)；
7 \(E(\lambda_i)=0\)；
这里我们设定：
\(\tilde{\alpha}_i=\alpha_0+\alpha_i;\tilde{\lambda}_i=\lambda_0+\lambda_i\);
8 \(E(\tilde{\alpha}_i)=\alpha_0\);
9 \(E(\tilde{\lambda}_i)=\lambda_0\);
模型公式
\(Y_{it}=(\alpha_0 +\lambda_0)+\alpha_i +\lambda_i + X_{it}' \beta + \varepsilon_{it}\)
\(=\alpha_0 +\alpha_i + \lambda_0 +\lambda_i + X_{it}' \beta + \varepsilon_{it}\)
\(=\tilde{\alpha}_i+\tilde{\lambda}_i+X_{it}' \beta + \varepsilon_{it},i = 1,2,3,...,N;t=1,2,3,...,T\)
估计方法
数据结构展示：
LSDV(最小二乘虚拟变量法)
学过计量的小伙伴们应该熟悉虚拟变量法，将时间段以截距项形式的虚拟变量加入。
估计方程形式：
\(Y = D_{\lambda}\lambda + D_\alpha\alpha+X\beta + \varepsilon\)
\(D_{\lambda}=\begin{pmatrix} D_1 & D_2&D_3&...&D_T\end{pmatrix}\)
其中：
\(D_T=\begin{cases} 1 &\text{if } 为T时期 \\ 0 &\text{if } 不为T时期\end{cases}\)
\(D_\alpha=\begin{pmatrix} D_1 & D_2&D_3&...&D_N\end{pmatrix}\)
其中：
\(D_N=\begin{cases} 1 &\text{if } 为N组 \\ 0 &\text{if } 不为N组\end{cases}\)也可以将时间与个体效应混合
\(Y = Dh + X\beta + \varepsilon\)
\(D=\begin{pmatrix} D_1 & D_2&D_3&...&D_{N*T}\end{pmatrix}\)
其中：
\(D=\begin{cases} 1 &\text{if } 为第N个体的T时期 \\ 0 &\text{if } 不为第N个体的T时期\end{cases}\)
个体时点双固定效应，控制区域、行业等模型
模型假设
1 \(E(\varepsilon_{it})=0\);
2 \(var(\varepsilon)=\sigma_\varepsilon为常数\)
3 \(\varepsilon_{it}与X_{it}不相关\);
4 \(\lambda_i 与X_{it}相关\)；
5 \(\alpha_i 与X_{it}相关\)；
6 \(E(\alpha_i)=0\)；
7 \(E(\lambda_i)=0\)；
这里我们设定：
\(\tilde{\alpha}_i=\alpha_0+\alpha_i;\tilde{\lambda}_i=\lambda_0+\lambda_i\);
8 \(E(\tilde{\alpha}_i)=\alpha_0\);
9 \(E(\tilde{\lambda}_i)=\lambda_0\);
模型公式
\(Y_{it}=\tilde{\alpha}_i+\tilde{\lambda}_i+D_{type}\gamma+X_{it}' \beta + \varepsilon_{it},i = 1,2,3,...,N;t=1,2,3,...,T\)
这个方程为了方便理解而设定，其中\(\tilde{\alpha}_i与D_{type}\)存在共线性问题，毕竟类型属性也是个体特征的一部分嘛！
估计方法展示
数据展示
估计方法：同上，将类型变量按照虚拟变量加入方程即可。
随机效应模型
背景思想：每组估计值的截距项的变动不与X的特征有关。
个体随机效应
模型假设
1.\(E(\varepsilon_{it})=0\);
2.\(var(\sigma_\varepsilon)为常数\)；
3 \(\varepsilon_{it}与X_{it}不相关\);
4. \(\alpha_i 与X_{it},\varepsilon_{it}不相关\);
5. \(\alpha_i \thicksim i.i.d(0,\sigma_\alpha^2)\);
公式：
\(Y_{it}=\alpha_0 +\alpha_i + X_{it}' \beta + \varepsilon_{it},i = 1,2,3,...,N;t=1,2,3,...,T\)
\(=\alpha_0 + X_{it}' \beta +(\alpha_i+ \varepsilon_{it}),i = 1,2,3,...,N;t=1,2,3,...,T\)
\(=\alpha_0 + X_{it}' \beta + v_{it}, v_{it}=\alpha_i + \varepsilon_{it}, i = 1,2,3,...,N;t=1,2,3,...,T\)
根据\(v_{it}=\alpha_i + \varepsilon_{it}\)；\(\alpha_i \thicksim i.i.d(0,\sigma_\alpha^2)\);\(\alpha_i 与X_{it},\varepsilon_{it}不相关\);\(var(\varepsilon)=\sigma_\varepsilon为常数\)
推导：
\(cov(v_{it},v_{is})=cov(\alpha_i + \varepsilon_{it},\alpha_i + \varepsilon_{is})=cov(\alpha_i ,\alpha_i + \varepsilon_{is})+cov(\varepsilon_{it},\alpha_i + \varepsilon_{is})=cov(\alpha_i ,\alpha_i )+cov(\alpha_i ,\varepsilon_{is})+cov(\varepsilon_{it},\alpha_i )+ cov(\varepsilon_{it},\ \varepsilon_{is}) =\begin{cases} \sigma_\alpha^2 &\text{if } t \neq s \\\sigma_\alpha^2 + \sigma_\varepsilon &\text{if } t=s\end{cases}\)
所以不满足古典假定，存在异方差与自相关问题。
估计方法展示
- 可行的广义最小二乘法(FGLS)
模型设定检验
F检验（chow's test）
原假设：混合回归模型
备择假设：其他模型
以个体固定效应模型为例：\(Y_{it}=u_i+X_{it}'\beta+ \varepsilon_{it}\)
原假设：\(u_1=u_2=...=u_N\) （存在约束，截距不会变）
\(Y_{it}=u_i+X_{it}'\beta+ \varepsilon_{it}\)
计算回归的\(RSS_r\)
备择假设：\(u_1，u_2，...，u_N不全相等\) （无约束，截距会变）
\(Y_{it}=u_i+X_{it}'\beta+ \varepsilon_{it}\)
计算回归的\(RSS_u\)
F统计量构造：
\(F=\cfrac{(RSS_r-RSS_u)/[(NT-k-1)-(NT-k-N)]}{RSS_u/(NT-k-N)} \thicksim F(N-1,NT-k-N)\)
LR检验
原假设：混合回归模型
备择假设：其他模型
以个体固定效应模型为例：\(Y_{it}=u_i+X_{it}'\beta+ \varepsilon_{it}\)
原假设：\(u_1=u_2=...=u_N\) （存在约束，截距不会变）
\(Y_{it}=u_i+X_{it}'\beta+ \varepsilon_{it}\)
计算回归的最大似然函数值的对数\(ln(L_r)\)
备择假设：\(u_1，u_2，...，u_N不全相等\) （无约束，截距会变）
\(Y_{it}=u_i+X_{it}'\beta+ \varepsilon_{it}\)
计算回归的最大似然函数值的对数\(ln(L_u)\)
LR统计量构造：
\(LR=-2(lnL_r-lnL_u)渐近服从\chi^2(约束条件的个数: N-1)\)
豪斯曼检验（Hauseman's test）
原假设：个体随机效应模型(个体效应与回归变量无关)
备择假设：个体固定效应模型(个体效应与回归变量有关)
检验的原理：
利用组内估计(within)，无论是随机效应模型的参数估计值还是固定效应模型的参数估计值，估计参数值都是一致的
利用广义最小二乘法，对随机效应模型的参数估计值是一致的，对于随机效应模型的参数估计值是不一致的