algorithm - 三角形网格的四面体取向

我有2个三角形和顶点p0，p1，p2，p3。这两个三角形共享一条边。从这两个三角形中，我想制作一个由4个顶点给出的四面体。我使用的库要求“应该给4个顶点，以便从外部观察时，定义图形中四面体面的四个顶点三元组按逆时针顺序出现”。假设两个三角形之一是p0，p1，p2，我将法线计算为(p1-p0)(叉)(p2-p0)。有人可以告诉我一种确保满足此条件的方法吗？

最佳答案

简短答案:

条件是p3必须位于(p0, p1, p2)确定的平面的正确一侧。

因此，在计算了该平面的法线之后，您需要通过获取点积p0来确定从(例如)p3到dot(normal, p3-p0)的向量指向法线的相同方向还是相反方向。

从数学上来讲:

您需要找到由四个点的齐次坐标形成的4x4矩阵的行列式。行列式的符号确定条件是否满足；适当的符号取决于所使用的确切约定，但理想情况下，它应为正:

require:
  0 < det(p0, p1, p2, p3)

  == det [ p0.x p0.y p0.z 1 ]
         [ p1.x p1.y p1.z 1 ]
         [ p2.x p2.y p2.z 1 ]
         [ p3.x p3.y p3.z 1 ]

如果特定的一组有序点具有负的行列式，则可以通过交换任意两个点来解决(这将使行列式无效):

e.g., swapping p0 and p2:

det(p0, p1, p2, p3) = - det(p2, p1, p0, p3)
     ^       ^               ^       ^

或者，更一般而言，在四个顶点的even and odd permutations之间切换。

如果行列式为零，则这四个点是共面的，因此无法固定。

最后，代码:

使用3-d向量数学来计算此行列式的一种相对简单的方法:

let:  v1 = p1 - p0
      v2 = p2 - p0
      v3 = p3 - p0
      norm12 = cross(v1, v2)
   -> determinant = dot(norm12, v3)

最终的决定因素也称为v1，v2和v3的“三乘积”。

请注意，我犹豫要尝试从您的问题中解码确切的符号约定(即，您是否需要行列式是正数还是负数):您提供的措辞和图表令人困惑。

但是，由于您拥有原始库及其文档，因此您可以最好地回答这个问题。作为最后的选择，您可以尝试经验的方法:尝试两个标志，然后选择不会爆炸的标志...

关于algorithm - 三角形网格的四面体取向，我们在Stack Overflow上找到一个类似的问题：https://stackoverflow.com/questions/10612829/