performance - 我如何通过归纳证明这两种算法中的第二种更快？

我有两个算法。

A. Solves problem in 2^n seconds.

B. Solves problem in n^2 + 1,000,000 seconds.

我怎么能归纳地证明b比a快。
我听说2^n>2n+1对于n>2可能有用。我一直在绞尽脑汁，解决不了这个问题。感谢
“n”等于程序的大小。
编辑：所有n>19。
解决方案：
前提：n^2+1000000<2^n
依据：
n=20个
1000400归纳：

(n+1)^2 + 1000000 > 2^(n+1)
n^2 +2n +1 +1000000 > 2^(n+1)
Apply 2^n > 2n + 1
n^2 + 1000000 > 2^(n+1)

最后一行表示B总是大于A。

最佳答案

正如你所说，基本情况已经证明。
iek^2<2^k for k>=5
对于归纳法，我们假设

k^2<2^k

我们需要证明

(k+1)^2<2^(k+1)

(k+1)^2 = k^2 + 2k + 1 < 2^k + 2k + 1

我们知道(k-1)^2>=0.因此k^2>=2k-1

2^k + 2k + 1 = 2^k + 2k -1 + 2 <= 2^k + k^2 + 2 < 2^k + 2^k +2= 2^(k+1) + 2

啊，我觉得我快到了。有什么帮助吗？