请在这件事上与我同在。我首先要描述书中的一个例子，然后在最后提出我的问题。
根据有关编程语言范例的文字:
自上而下的定义:
当且仅当自然数n在S中
我们知道0∈S。因此3∈S，因为(3 − 3)= 0且
0∈S。类似地6∈S，因为(6−3)= 3和3∈S。
可以得出结论:3的所有倍数都在S中。
那其他自然数呢？ 1∈S？我们知道1!= 0，所以
第一个条件不满足。此外，(1-3)= -2，这不是自然的
数字，因此不是S的成员。因此，第二个条件
不满意。
自底向上定义:
将集合S定义为N中包含的最小集合，并满足
以下两个属性:
“最小集合”是满足属性1和2的集合，即
满足属性1和2的任何其他集合的子集。
只能有一个这样的集合:如果S1和S2都满足属性1和
2，且两者均最小，则S1⊆S2(因为S1最小)和S2⊆S1
(由于S2最小)，因此S1 = S2。我们需要这种额外条件，因为
否则，有很多满足其余两个条件的集合
推理规则:
_____
0 ∈ S
n ∈ S
---------
(n+3) ∈ S
这只是该定义的先前版本的简写形式。
每个条目都称为推理规则，或仅称为规则。水平
行被视为“if-then”。线上方的部分称为假设
或先行者；或线下的部分称为结论或结果。
当列出两个或多个假设时，它们通过
隐式的“和”
现在是问题了。
我想找到以下两个问题的自上而下，自下而上和自卑的定义。您不必给我答案，但是我确实想知道如何得出归纳定义。我从哪里开始？是否有系统的方法来解决这类问题？
1. {2n+3m +1 | n,m ∈ N}
2. {(n, 2n+1) | n ∈ N}
最佳答案
您在这里提出了很多问题，因此希望此答复能回答所有这些问题。如果您想澄清什么，请告诉我。
您的第一个问题-为什么我们需要归纳定义？ -最容易回答。在计算机科学中，大量结构是归纳定义的。例如，您的简单链表具有归纳定义
或二叉树:
或正则表达式:
这些定义具有许多不错的属性。首先，它们适合于递归算法。如果要访问二叉树中的每个节点，我们可以使用二叉树的归纳定义来构建一个简单的访问算法:
类似地，如果我们要操纵正则表达式的结构(例如，可能要为其构建匹配的自动机)，则归纳定义使我们可以逐段从正则表达式中构建自动机。
归纳定义也可以用于形式证明结构的性质。例如，这是AVL树的正式定义:
使用此定义，可以正式证明AVL树是平衡的。
我们可以类似地使用这些定义来证明有关编程语言的属性。大多数语言都有某种归纳定义，因此通过证明程序的每个部分都保留了一些信息，我们可以从头开始建立正确性证明。
您的第二个问题-Google为什么不提供任何归纳定义示例？ -我认为是因为它将其解释为“定义归纳”，而不是术语本身。如果您查找递归定义，那么您会发现很多归纳定义的示例，因为归纳定义和递归定义彼此非常相似。
您的第三个问题-为什么我们需要多种表达同一事物的方式？ -也很容易。如果您想证明有关系统的某些知识，则归纳定义非常有用。如果证明它适用于基本元素，然后证明较大的元素保留了该属性，则可以证明它始终是正确的。递归定义对于编写程序很有用，因为递归函数倾向于向后运行归纳。推理规则与逻辑证明系统相关联，并为使用经典逻辑证明系统属性提供了起点。
您的第四个问题-为什么找不到任何示例？ -只需花一点时间查看一下您所了解的经典数据结构和算法，即可轻松解决该问题。您可以归纳定义多少个数据结构？尝试查看链接列表，二叉树，红黑树，AVL树等以获取启发。您将如何定义图形？ DAG？同样，尝试查看语法结构。例如，如何归纳定义平衡括号内的字符串？ C语言中的函数原型(prototype)怎么样？
您的最后一个问题-是否有系统的方法来解决这些问题？ -答案是否定的。您可以定义与在输入上模拟任意图灵机等效的重复发生，并且由于无法确定暂停问题，因此没有解决此类问题的通用程序。但是，确实存在许多方法。尝试查看Graham，Knuth和Patashnik撰写的“具体数学”，以获取有关如何通过重复进行工作的灵感。
希望这可以帮助!