Matlab:可变步长 ODE 求解器中的 if 语句和 abs() 函数

我在网上阅读了这篇文章，其中有人提到使用“if 语句”和“abs()”函数会对 MATLAB 的可变步长 ODE 求解器(如 ODE45)产生负面影响。根据 OP，它会显着影响时间步长(需要太低的时间步长)并在微分方程最终积分时给出较差的结果。我想知道这是否属实，如果是，为什么。此外，如何在不求助于固定步长求解器的情况下缓解此问题。我在下面给出了一个示例代码来说明我的意思:

function [Z,Y] = sauters(We,Re,rhos,nu_G,Uinj,Dinj,theta,ts,SMDs0,Uzs0,...
Uts0,Vzs0,zspan,K)

Y0 = [SMDs0;Uzs0;Uts0;Vzs0]; %Initial Conditions
options = odeset('RelTol',1e-7,'AbsTol',1e-7); %Tolerance Levels
[Z,Y] = ode45(@func,zspan,Y0,options);

function DY = func(z,y)

    DY = zeros(4,1);

    %Calculate Local Droplet Reynolds Numbers
    Rez = y(1)*abs(y(2)-y(4))*Dinj*Uinj/nu_G;
    Ret = y(1)*abs(y(3))*Dinj*Uinj/nu_G;

    %Calculate Droplet Drag Coefficient
    Cdz = dragcof(Rez);
    Cdt = dragcof(Ret);

    %Calculate Total Relative Velocity and Droplet Reynolds Number
    Utot = sqrt((y(2)-y(4))^2 + y(3)^2);
    Red = y(1)*abs(Utot)*Dinj*Uinj/nu_G;

    %Calculate Derivatives
    %SMD
    if(Red > 1)
        DY(1) = -(We/8)*rhos*y(1)*(Utot*Utot/y(2))*(Cdz*(y(2)-y(4)) + ...
            Cdt*y(3)) + (We/6)*y(1)*y(1)*(y(2)*DY(2) + y(3)*DY(3)) + ...
            (We/Re)*K*(Red^0.5)*Utot*Utot/y(2);
    elseif(Red < 1)
        DY(1) = -(We/8)*rhos*y(1)*(Utot*Utot/y(2))*(Cdz*(y(2)-y(4)) + ...
        Cdt*y(3)) + (We/6)*y(1)*y(1)*(y(2)*DY(2) + y(3)*DY(3)) + ...
        (We/Re)*K*(Red)*Utot*Utot/y(2);
    end
    %Axial Droplet Velocity
    DY(2) = -(3/4)*rhos*(Cdz/y(1))*Utot*(1 - y(4)/y(2));
    %Tangential Droplet Velocity
    DY(3) = -(3/4)*rhos*(Cdt/y(1))*Utot*(y(3)/y(2));
    %Axial Gas Velocity
    DY(4) = (3/8)*((ts - ts^2)/(z^2))*(cos(theta)/(tan(theta)^2))*...
        (Cdz/y(1))*(Utot/y(4))*(1 - y(4)/y(2)) - y(4)/z;

end

end

其中函数“dragcof”由以下给出:

function Cd = dragcof(Re)
if(Re <= 0.01)

    Cd = (0.1875) + (24.0/Re);

elseif(Re > 0.01 && Re <= 260.0)

    Cd = (24.0/Re)*(1.0 + 0.1315*Re^(0.32 - 0.05*log10(Re)));

else

    Cd = (24.0/Re)*(1.0 + 0.1935*Re^0.6305);
end
end

最佳答案

这是因为使用 if 语句、模运算 ( abs() ) 或单位阶跃函数、狄拉克增量等计算的导数会在解或其导数的值中引入不连续性，从而导致扭结、跳跃、拐点等。

这意味着 ODE 的解决方案在相关时间完全改变了行为。可变步长积分器将做的是

检测到这个

认识到他们将无法直接使用超出“问题点”的信息

减少步长，从上往下重复，直到问题点满足精度要求

因此，问题点附近会出现许多失败的步骤和步长的减小，从而对整体积分时间产生负面影响。

然而，可变步长积分器将继续产生良好的结果。恒定步长积分器不是解决此类问题的好方法，因为它们首先无法检测到此类问题(没有错误估计)。

您可以做的只是将问题分成多个部分。如果您事先知道将在什么时间点发生变化，您只需为每个间隔开始新的积分，每次使用前一次积分的输出作为下一次积分的初始值。

如果您事先不知道问题出在哪里，您可以在 Matlab 的 ODE 求解器中使用这个非常好的功能，称为事件函数(参见 the documentation )。您让 Matlab 的求解器之一检测事件(导数中的符号变化、if 语句中的条件变化或其他)，并在检测到此类事件时终止积分。然后开始新的积分，从上次开始，并使用前一次积分的初始条件，和以前一样，直到达到最终时间。

这样总体执行时间仍然会有轻微的损失，因为 Matlab 会尝试准确检测事件的位置。但是，就执行时间和结果的准确性而言，它仍然比盲目运行集成要好得多。

关于Matlab:可变步长 ODE 求解器中的 if 语句和 abs() 函数，我们在Stack Overflow上找到一个类似的问题：https://stackoverflow.com/questions/16582841/