scala - 了解产品和副产品图

我试图了解与以下图片相对应的Product和Coproduct:

产品:


副产品:



据我了解，Haskell中的Product类型例如:

data Pair = P Int Double

且Sum类型为:

data Pair = I Int | D Double

如何理解与Sum和Product类型有关的图像？

图像来自http://blog.higher-order.com/blog/2014/03/19/monoid-morphisms-products-coproducts/。

最佳答案

据我所知，这些图背后的想法是给您:

类型A，B和Z

函数指示类型的f和g(在第一张图中，f :: Z -> A和g :: Z -> B，在第二张图中，箭头“相反”，所以f :: A -> Z和g :: B -> Z)。

现在，我将专注于第一个图，这样我就不必在稍有变化的情况下重复两次。

无论如何，鉴于上述情况，我们的想法是存在一个M类型以及函数fst :: M -> A，snd :: M -> B和h :: Z -> M，如数学家所说，该图可以“换向”。这仅表示在给定图中的任何两个点的情况下，如果您以任何方式遵循箭头的指示，则得到的功能是相同的。也就是说，f与fst . h相同，g与snd . h相同

不难看出，无论是什么Z，该对类型(A, B)以及通常的Haskell函数fst和snd都能满足此要求-以及h的适当选择，即:

h z = (f z, g z)

它简单地满足了要转换的两个必需身份。

这是该图的基本说明。但是您可能对Z在所有这一切中的作用有些困惑。之所以会出现这种情况，是因为实际上所说的要强大得多。就是说，给定A，B，f和g，有一个M以及函数fst和snd，您可以为任何类型的Z构造这样的图(这意味着还提供函数h :: Z -> M)。此外，只有一个函数h可以满足所需的属性。

很显然，一旦您使用了它并理解了各种要求，对(A, B)和其他与它同构的其他类型(基本上就是您在其中定义了MyPair A B的data MyPair a b = MyPair a b)就可以满足这一要求。并且还有其他类型的M也可以使用，但是会给出各种不同的h-例如。以M为三重(A, B, Int)，并从fst和snd提取(在数学术语中为“projecting to”)的第一部分和第二部分中，然后h z = (f z, g z, x)就是您想要命名的任何x :: Int的函数。

自从我学习数学(尤其是类别理论)以来，已经太久了，无法证明(A, B)对是满足我们所讨论的“通用属性”的唯一类型-但请放心，事实是，您为了能够在Haskell中使用乘积和求和类型进行编程，确实不需要理解(或其中的任何一种)。

第二张图大致相同，但所有箭头都相反。在这种情况下，M和A的“coproduct”或“sum” B变成Either a b(或与之等价的东西)，并且h :: M -> Z将定义为:

h (Left a) = f a
h (Right b) = g b