我正在使用CVXPY在Python中计算SDP问题,我想设置约束,不仅我的变量矩阵是正半定(psd),而且它在特定轴上的部分转置是psd。我不知道如何设置此要求。我的代码如下所示
#Set the variable matrix
P_0 = cp.Variable((d,d), symmetric=True)
现在我想定义类似
def PT(d1, d2, rho):
"""Return rho^{T_1}, the partial trace of the density operator rho on C^{d_1} \ot C^{d_2} along the first system."""
assert rho.shape == (d1 * d2, d1 * d2)
# reshape into a 4-tensor (2 ket indices and 2 bra indices)
rho = rho.reshape(d1, d2, d1, d2)
# transpose the first subsystem
rho = rho.transpose((0,3,2,1))
# reshape back into a density operator
return rho.reshape(d1 * d2, d1 * d2)
然后设置
PT(3,3, P_0) >> 0
的要求,即它是psd。但这在cvxpy中是不允许的。我也可以为我的特定情况定义一个新矩阵,例如P_0_tp = [[P_0[[0,0]], P_0[[1, 0]], P_0[[2, 0]], P_0[[0, 3]], P_0[[1, 3]], P_0[[2, 3]],
P_0[[0, 6]], P_0[[1, 6]], P_0[[2, 6]]], [P_0[[0, 1]], P_0[[1, 1]], P_0[[2, 1]],
P_0[[0, 4]], P_0[[1, 4]], P_0[[2, 4]], P_0[[0, 7]], P_0[[1, 7]],
P_0[[2, 7]]], [P_0[[0, 2]], P_0[[1, 2]], P_0[[2, 2]], P_0[[0, 5]], P_0[[1, 5]],
P_0[[2, 5]], P_0[[0, 8]], P_0[[1, 8]], P_0[[2, 8]]], [P_0[[3, 0]], P_0[[4, 0]],
P_0[[5, 0]], P_0[[3, 3]], P_0[[4, 3]], P_0[[5, 3]], P_0[[3, 6]], P_0[[4, 6]],
P_0[[5, 6]]], [P_0[[3, 1]], P_0[[4, 1]], P_0[[5, 1]], P_0[[3, 4]], P_0[[4, 4]],
P_0[[5, 4]], P_0[[3, 7]], P_0[[4, 7]], P_0[[5, 7]]], [P_0[[3, 2]], P_0[[4, 2]],
P_0[[5, 2]], P_0[[3, 5]], P_0[[4, 5]], P_0[[5, 5]], P_0[[3, 8]], P_0[[4, 8]],
P_0[[5, 8]]], [P_0[[6, 0]], P_0[[7, 0]], P_0[[8, 0]], P_0[[6, 3]], P_0[[7, 3]],
P_0[[8, 3]], P_0[[6, 6]], P_0[[7, 6]], P_0[[8, 6]]], [P_0[[6, 1]], P_0[[7, 1]],
P_0[[8, 1]], P_0[[6, 4]], P_0[[7, 4]], P_0[[8, 4]], P_0[[6, 7]], P_0[[7, 7]],
P_0[[8, 7]]], [P_0[[6, 2]], P_0[[7, 2]], P_0[[8, 2]], P_0[[6, 5]], P_0[[7, 5]],
P_0[[8, 5]], P_0[[6, 8]], P_0[[7, 8]], P_0[[8, 8]]]]
这是一个9x9矩阵,现在已在第二个三维空间中部分转置。但是如何在cvxpy中将其设置为变量?
提前致谢,
最佳答案
我今天遇到了同样的问题:我想创建一个新矩阵,该矩阵由我先前定义的变量组合组成。我在this answer中找到了我的问题的答案。第二种方法数组P_0_tp
的问题在于,它不是使用cvxpy操作生成的。您可以使用例如cvxpy.vstack
和cvxpy.hstack
或其他可用的函数来构造它,例如here(似乎也有reshape
函数...)。
在姿势here中的问题中,您可以看到我如何最终实现它。为了完整起见,我将其复制到此处:
import cvxpy as cp
X = cp.Variable((3,3), PSD=True)
row_1 = cp.hstack((0, 1, X[0,0]))
row_2 = cp.hstack((1, 0, X[1,2]))
row_3 = cp.hstack((X[0,0], X[1,2], 0))
W = cp.vstack((row_1, row_2, row_3))
constraint = [W >> 0]
如您所见,我没有将W定义为变量,但是现在它是一个cvxpy对象:
In [1] W
Out[1]: Expression(AFFINE, UNKNOWN, (3, 3))