math - 使用sagemath或sympy将n阶微分方程简化为一阶方程组

我想将n阶常微分方程简化为一阶方程组。这是为数值分析做准备。我将Sympy和Sagemath都用于计算机代数，但是我没有在其中找到任何函数来进行这种简化。我不确定是否有人可以指出此功能是否在Sympy或Sagemath中存在。

这样的一个例子是简化等式：

x''' - 2x'' + x' = 0

到一阶方程组：

[0  1 0
 0  0 1
 0 -1 2]

最佳答案

据我所知，SymPy没有直接执行此操作的功能，但是手动操作很简单。

我假设您始终希望您的两个附加方程式为y = x'和z = y'的形式。

首先，让我们创建ODE（在SymPy中，表达式会自动假定为等于零，因此为了简化起见，请不要为= 0部分所困扰）。我假设您的自变量为t。

In [4]: t = symbols('t')

In [7]: x, y, z = symbols('x y z', cls=Function)

In [6]: ode = x(t).diff(t, t) - 2*x(t).diff(t) + x(t)

In [13]: ode = x(t).diff(t, 3) - 2*x(t).diff(t, t) + x(t).diff(t)

In [14]: ode
Out[14]:
               2           3
d             d           d
──(x(t)) - 2⋅───(x(t)) + ───(x(t))
dt             2           3
             dt          dt

现在，如果我们将x'替换为y，

In [15]: ode.subs(x(t).diff(t), y(t))
Out[15]:
                      2
         d           d
y(t) - 2⋅──(y(t)) + ───(y(t))
         dt           2
                    dt

我们看到它还将x''替换为y'。因此，用y'代替z：

In [16]: ode = ode.subs(x(t).diff(t), y(t)).subs(y(t).diff(t), z(t))

In [17]: ode
Out[17]:
                d
y(t) - 2⋅z(t) + ──(z(t))
                dt

现在我们的系统[x' y' z']是

In [20]: Matrix([y(t), z(t), solve(ode, z(t).diff(t))[0]])
Out[20]:
⎡     y(t)     ⎤
⎢              ⎥
⎢     z(t)     ⎥
⎢              ⎥
⎣-y(t) + 2⋅z(t)⎦

请注意，我们已经知道x' = y和y' = z，因此我们直接使用它们，但是我们使用solve()来获取根据z'表示的替换ODE。

如果需要系数，一个简单的技巧是采用雅可比行列式：

In [23]: M = Matrix([y(t), z(t), solve(ode, z(t).diff(t))[0]]).jacobian([x(t), y(t), z(t)])

In [24]: M
Out[24]:
⎡0  1   0⎤
⎢        ⎥
⎢0  0   1⎥
⎢        ⎥
⎣0  -1  2⎦

我将把它包装成单个函数ode_to_system(ode, [x(t), y(t), z(t)])的任务留给读者练习。

关于math - 使用sagemath或sympy将n阶微分方程简化为一阶方程组，我们在Stack Overflow上找到一个类似的问题：https://stackoverflow.com/questions/25590481/