为什么有些数字存储为浮点数时会失去准确性？
例如，十进制数9.2可以精确地表示为两个十进制整数（92/10）的比率，两个整数都可以精确地以二进制（0b1011100/0b1010）表示。但是，存储为浮点数的相同比率永远不会完全等于9.2：
32-bit "single precision" float: 9.19999980926513671875
64-bit "double precision" float: 9.199999999999999289457264239899814128875732421875
这样一个看似简单的数字怎么会“太大”而无法在64位内存中表达呢？
最佳答案
在大多数编程语言中，浮点数非常类似于scientific notation表示：具有指数和尾数（也称为有效位数）。一个非常简单的数字，例如9.2，实际上就是这个分数：
5179139571476070 * 2 -49
指数为-49，尾数为5179139571476070。用这种方式无法表示一些十进制数字的原因是，指数和尾数都必须是整数。换句话说，所有浮点数必须是整数乘以2的整数次方。9.2可能只是92/10，但是如果n限制为整数值，则10不能表示为2n。
看到数据
首先，使用一些函数来查看组成32位和64位float的组件。如果只关心输出，则可以查看以下内容（Python示例）：
def float_to_bin_parts(number, bits=64):
if bits == 32: # single precision
int_pack = 'I'
float_pack = 'f'
exponent_bits = 8
mantissa_bits = 23
exponent_bias = 127
elif bits == 64: # double precision. all python floats are this
int_pack = 'Q'
float_pack = 'd'
exponent_bits = 11
mantissa_bits = 52
exponent_bias = 1023
else:
raise ValueError, 'bits argument must be 32 or 64'
bin_iter = iter(bin(struct.unpack(int_pack, struct.pack(float_pack, number))[0])[2:].rjust(bits, '0'))
return [''.join(islice(bin_iter, x)) for x in (1, exponent_bits, mantissa_bits)]
该函数背后有很多复杂性，并且很容易解释，但是如果您感兴趣的话，struct模块对我们而言是重要的资源。
Python的
float是64位双精度数字。在其他语言（例如C，C ++，Java和C＃）中，双精度具有单独的类型double，通常将其实现为64位。当我们使用示例
9.2调用该函数时，得到的是：>>> float_to_bin_parts(9.2)
['0', '10000000010', '0010011001100110011001100110011001100110011001100110']
解释数据
您会看到我将返回值分为三个部分。这些组件是：
标志
指数
尾数（也称为有效数或分数）
标志
该符号作为单个位存储在第一部分中。很容易解释：
0表示浮点数为正数； 1表示否定。因为9.2为正，所以我们的符号值为0。指数
指数以11位存储在中间组件中。在我们的例子中，
0b10000000010。以十进制表示，代表值1026。该组件的一个怪癖是必须减去一个等于2（位数）-1-1的数字才能得到真实的指数。在我们的例子中，这意味着减去0b1111111111（十进制数1023）以获得真实指数0b00000000011（十进制数3）。尾数
尾数作为52位存储在第三部分中。但是，此组件也有一个怪癖。要理解这一怪异现象，请考虑用科学计数法表示的数字，如下所示：
6.0221413x1023
尾数为
6.0221413。回想一下，科学计数法中的尾数始终以单个非零数字开头。二进制也是如此，只不过二进制只有两位数字：0和1。因此二进制尾数始终以1开头！当存储浮点数时，将省略二进制尾数前面的1以节省空间。我们必须将其放回第三个元素的前面以获取真实的尾数：1.0010011001100110011001100110011001100110011001100110110
这涉及的不仅仅是一个简单的加法，因为存储在我们第三个分量中的位实际上代表了radix point右边的尾数的小数部分。
在处理十进制数字时，我们通过乘以10的乘方或除以“移动小数点”。在二进制中，通过乘以2的乘方或除以可以做相同的事情。由于我们的第三个元素有52位，因此我们除以通过252将其向右移动52个位置：
0.0010011001100110011001100110011001100110011001100110110
用十进制表示法，与将
675539944105574除以4503599627370496以获得0.1499999999999999相同。 （这是一个比率的示例，该比率可以精确地用二进制表示，但只能近似用十进制表示；有关更多详细信息，请参见：675539944105574 / 4503599627370496。）现在我们已经将第三个分量转换为分数，添加
1给出了真实的尾数。重新盖上组件
符号（第一部分）：
0表示正，1表示负指数（中间分量）：减去2（位数）-1-1以得到真实的指数
尾数（最后一个分量）：除以2（位数）并添加
1以获得真实的尾数计算数字
将所有三个部分放在一起，我们得到这个二进制数字：
1.0010011001100110011001100110011001100110011001100110 x 1011
然后我们可以将其从二进制转换为十进制：
1.1499999999999999 x 23（不精确！）
并相乘以显示存储为浮点值后以（
9.2）开头的数字的最终表示形式：9.1999999999999993
表示为分数
9.2
现在我们已经构建了数字，可以将其重构为一个简单的分数：
1.0010011001100110011001100110011001100110011001100110 x 1011
将尾数转换为整数：
10010011001100110011001100110011001100110011001100110 x 1011-110100
转换为十进制：
5179139571476070 x 23-52
减去指数：
5179139571476070 x 2-49
将负指数转化为除法：
5179139571476070/249
相乘指数：
5179139571476070/562949953421312
等于：
9.1999999999999993
9.5
>>> float_to_bin_parts(9.5)
['0', '10000000010', '0011000000000000000000000000000000000000000000000000']
您已经可以看到尾数只有4位数字，后面跟着很多零。但是，让我们逐步进行。
汇编二进制科学符号：
1.0011 x 1011
移动小数点：
10011 x 1011-100
减去指数：
10011 x 10-1
二进制到十进制：
19 x 2-1
负除法指数：
19/21
相乘指数：
19/2
等于：
9.5
进一步阅读
The Floating-Point Guide: What Every Programmer Should Know About Floating-Point Arithmetic, or, Why don’t my numbers add up?（floating-point-gui.de）
What Every Computer Scientist Should Know About Floating-Point Arithmetic（Goldberg 1991）
IEEE Double-precision floating-point format（维基百科）
Floating Point Arithmetic: Issues and Limitations（docs.python.org）
Floating Point Binary