algorithm - 通过删除图中的节点可以形成的树数

0
|
0__1__0
|  |  |
1__1__0
   |
   1

假设我有一个无向图。我们有以下条件：
只允许删除标记为“1”的节点。
删除任何节点都不能使图形成为林
允许删除多个节点，但必须满足上述条件。
计算通过上述过程可以生成的不同树（无树）的数量。注意这里没有“根”这个词。我们只计算不同的结构。
对于上述情况，答案是4，因为：

0
|
0     0
|     |
1__1__0        ------> #1
   |
   1

0
|
0     0
|     |        -------> #2
1__1__0


0
|
0__1__0
|     |       ---------> #3
1     0

0
|
0__1__0       ---------> #4
      |
      0

我希望能得到任何帮助或提示。
（如果图已经是一棵树，在满足上述条件的前提下，我们仍然可以删除节点以获得新的树）

最佳答案

正如您已经指出的，一个简单的指数解决方案是获取1个节点的所有子集，并为每个子集检查移除节点是否获得一个树图。有两个想法可以帮助您剪除某些子集：
从最小到最大递增地构建1节点子集。如果您找到一个分区图，则不需要检查其任何超集。
我来表示示例a、b、c、d中的1节点：

0
|
0__A__0
|  |  |
C__B__0
   |
   D

删除{A, B}将对图形进行分区。因此，显然删除{A, B, C}或{A, B, D}或{A, B, C, D}也会分割图形。您不需要显式地检查任何这些。
（除非除一个分区图组件外，所有分区图组件仅由1个节点组成。然后删除所有这些单节点组件也可以获得有效的解决方案。您可能需要将此作为特例进行检查。）
一旦找到获得一棵树的单节点子集，那么只要图没有分区，再删除任何一个单节点也将获得一棵树。
例如，通过删除A可以得到一棵树：

0
|
0     0
|     |
C__B__0
   |
   D

我们可以通过移除更多的节点来生成更多的树。对于这些，我们只需要通过移除它们来检查，我们不会对图进行分区。如果不是，我们可以确定图仍然是一棵树。在这个例子中删除D说明了这个想法。
在最坏的情况下，这些优化可能不会使算法优于指数算法，但它们可以使算法在合理的小输入下变得实用。