我正在阅读有关 Coq 的教程。它构造了一个 bool
类型,如下所示:
Coq < Inductive bool : Set := true | false.
bool is defined
bool_rect is defined
bool_ind is defined
bool_rec is defined
然后它显示了这些东西中的每一个都在使用“检查”。
Coq < Check bool_ind.
bool_ind
: forall P : bool -> Prop, P true -> P false -> forall b : bool, P b
Coq < Check bool_rec.
bool_rec
: forall P : bool -> Set, P true -> P false -> forall b : bool, P b
Coq < Check bool_rect.
bool_rect
: forall P : bool -> Type, P true -> P false -> forall b : bool, P b
我明白
bool_ind
。它说,如果某些东西适用于 true
并且适用于 false
,那么它适用于 b
中的所有 bool
(因为只有两个)。但我不明白
bool_rec
或 bool_rect
的表达式是什么意思。似乎 P true
(对于 Set
是 bool_rec
,对于 0x25181224141 是 Type
)被视为值(value)命题 3。我在这里缺少什么? 最佳答案
你对 bool_ind
的直觉是正确的,但想想为什么 bool_ind
意味着你所说的可能有助于澄清另外两个。我们知道
bool_ind : forall P : bool -> Prop,
P true ->
P false ->
forall b : bool,
P b
如果我们将其视为一个逻辑公式,我们会得到与您相同的读数:
P
上的每个谓词 bool
,P true
成立,并且 P false
成立,则 b
,P b
持有。 但这不仅仅是一个逻辑公式,它是一种类型。具体来说,它是一个(依赖)函数类型。作为一个函数类型,它说(如果你允许我为未命名的参数和结果创造名称的自由):
P : bool -> Prop
,Pt : P true
, Pf : P false
和 b : bool
,Pb : P b
。 (当然,这是一个柯里化函数,因此还有其他方法可以将类型分解为散文,但这对我们的目的来说是最清楚的。)
这里最重要的事情是,使 Coq 在成为编程语言的同时作为定理证明者(反之亦然)的原因是 Curry-Howard correspondence:类型是命题,值是这些命题的证明。例如,简单函数类型
->
对应于蕴涵,从属函数类型 forall
对应于全称量化。 (这个符号很有启发性:-))所以在 Coq 中,为了证明 φ → ψ,我们必须构造一个类型为 φ -> ψ
的值:一个函数,它采用类型为 φ
的值(或者换句话说,是命题的证明φ) 并用它构造一个类型为 ψ
的值(命题 ψ 的证明)。在 Coq 中,我们可以这样考虑所有类型,无论这些类型位于
Set
、 Type
还是 Prop
中。 (因此,当您说“似乎 P true(它是 bool rec 的 Set 和 bool_rect 的类型)被视为命题值”时,您是对的!)例如,让我们考虑一下我们如何自己实现 bool_ind
。我们将首先列出函数的所有参数及其返回类型:Definition bool_ind' (P : bool -> Prop)
(Pt : P true)
(Pf : P false)
(b : bool)
: P b :=
到现在为止还挺好。此时,我们想返回
P b
类型的东西,但我们不知道 b
是什么。因此,与往常一样,在这些情况下,我们进行模式匹配: match b with
现在有两种情况。首先,
b
可能是 true
。在这种情况下,我们必须要返回 P true
类型的东西,幸运的是我们有这样一个值: Pt
。 | true => Pt
false
的情况类似: | false => Pf
end.
请注意,当我们实现
bool_ind'
时,它看起来不太“证明”,而是非常“程序化”。当然,多亏了库里-霍华德的通信,这些都是一样的。但请注意,对于其他两个函数,完全相同的实现就足够了:Definition bool_rec' (P : bool -> Set)
(Pt : P true)
(Pf : P false)
(b : bool)
: P b :=
match b with
| true => Pt
| false => Pf
end.
Definition bool_rect' (P : bool -> Type)
(Pt : P true)
(Pf : P false)
(b : bool)
: P b :=
match b with
| true => Pt
| false => Pf
end.
查看这个计算定义揭示了关于
bool_ind
、 bool_rec
和 bool_rect
的另一种方式:它们封装了谈论 0x251812431 的每个值所需的知识。但无论哪种方式,我们都在打包这些信息:如果我知道 bool
的某些信息,以及 true
的某些信息,那么我知道所有 false
的信息。bool
函数的定义抽象了我们在 bool 值上编写函数的通常方式:一个参数对应于真分支,一个对应于假分支。或者,换句话说:这些函数只是 bool_{ind,rec,rect}
语句。在非依赖类型语言中,它们可以具有更简单的类型 if
:Definition bool_simple_rec (S : Set) (St : P) (Sf : P) (b : bool) : S :=
match b with
| true => St
| false => Sf
end.
但是,因为类型可以依赖于值,所以我们必须将
forall S : Set, S -> S -> bool -> S
贯穿所有类型。但是,如果事实证明我们不想要那样,我们可以使用更通用的函数并告诉:Definition bool_simple_rec' (S : Set) : S -> S -> bool -> S :=
bool_rec (fun _ => S).
没有人说过我们的
b
必须使用 P : bool -> Set
!所有这些函数对于递归类型都更有趣。例如,Coq 具有以下类型的自然数:
Inductive nat : Set := O : nat | S : nat -> nat.
我们有
nat_ind : forall P : nat -> Prop,
P O ->
(forall n' : nat, P n' -> P (S n')) ->
forall n : nat,
P n
连同相应的
bool
和 nat_rec
。 (读者练习:直接实现这些功能。)乍一看,这只是数学归纳法的原理。然而,这也是我们在
nat_rect
s 上编写递归函数的方式;它们是一样的。通常,nat
上的递归函数如下所示:fix f n => match n with
| O => ...
| S n' => ... f n' ...
end
nat
(基本情况)之后的匹配臂只是类型 O
的值。以下P O
(递归情况下),本场比赛的 ARM 是什么传入S n'
类型的功能:forall n' : nat, P n' -> P (S n')
可相同,而n'
值是递归调用P n'
的结果。考虑
f n'
和 _rec
函数之间的等价性的另一种方式——我认为在无限类型上比在 _ind
上更清晰——它与数学上的 123141312312314123141313141312312314年 12313123131315结构)bool
ursion(发生在 ind
和 Prop
中)。让我们开始实践并使用这些功能。我们将定义一个将 bool 值转换为自然数的简单函数,我们将直接执行此操作并使用
rec
执行此操作。编写此函数的最简单方法是使用模式匹配:Definition bool_to_nat_match (b : bool) : nat :=
match b with
| true => 1
| false => 0
end.
另一种定义是
Definition bool_to_nat_rec : bool -> nat :=
bool_rec (fun _ => nat) 1 0.
这两个函数是一样的:
Goal bool_to_nat_match = bool_to_nat_rec.
Proof. reflexivity. Qed.
(注意:这些函数在语法上是相同的。这是比简单地做同样的事情更强的条件。)
这里,
Set
是 Type
;它为我们提供了不依赖于参数的返回类型。我们的 bool_rec
是 P : bool -> Set
,当我们得到 fun _ => nat
时要计算的东西;类似地,我们的 Pt : P true
是 1
。如果我们想使用依赖项,我们必须编写一个有用的数据类型。怎么样
Inductive has_if (A : Type) : bool -> Type :=
| has : A -> has_if A true
| lacks : has_if A false.
根据这个定义,
true
与 Pf : P false
同构, 0
与 has_if A true
同构。然后我们可以有一个函数,当且仅当它传递 A
时,它会保留它的第一个参数。Definition keep_if_match' (A : Type) (a : A) (b : bool) : has_if A b :=
match b with
| true => has A a
| false => lacks A
end.
另一种定义是
Definition keep_if_rect (A : Type) (a : A) : forall b : bool, has_if A b :=
bool_rect (has_if A) (has A a) (lacks A).
它们又是一样的:
Goal keep_if_match = keep_if_rect.
Proof. reflexivity. Qed.
这里,函数的返回类型取决于参数
has_if A false
,所以我们的 unit
实际上做了一些事情。这是一个更有趣的例子,使用自然数和长度索引列表。如果您还没有看过长度索引列表(也称为向量),那么它们就是它们在 jar 头上所说的那样;
true
是 b
P : bool -> Type
s 的列表。Inductive vec (A : Type) : nat -> Type :=
| vnil : vec A O
| vcons : forall n, A -> vec A n -> vec A (S n).
Arguments vnil {A}.
Arguments vcons {A n} _ _.
(
vec A n
机制处理隐式参数。)现在,我们想要生成某个特定元素的 n
副本的列表,因此我们可以使用固定点编写它:Fixpoint vreplicate_fix {A : Type} (n : nat) (a : A) : vec A n :=
match n with
| O => vnil
| S n' => vcons a (vreplicate_fix n' a)
end.
或者,我们可以使用
A
:Definition vreplicate_rect {A : Type} (n : nat) (a : A) : vec A n :=
nat_rect (vec A) vnil (fun n' v => vcons a v) n.
请注意,由于
Arguments
捕获递归模式,因此 n
本身不是固定点。需要注意的一件事是 nat_rect
的第三个参数:fun n' v => vcons a v
nat_rect
在概念上是递归调用 vreplicate_rect
的结果; nat_rect
抽象出递归模式,所以我们不需要直接调用它。 v
确实与 0x25181231343141 中的 vreplicate_rect n' a
相同,但现在看来我们不需要明确提及它。为什么会传入?如果我们写出我们的类型,那就很清楚了:fun (n' : nat) (v : vec A n') => vcons a v : vec A (S n')
我们需要
nat_rect
,所以我们知道 n'
的类型,以及结果的类型。让我们看看这些函数的作用:
Eval simpl in vreplicate_fix 0 tt.
Eval simpl in vreplicate_rect 0 tt.
(* both => = vnil : vec unit 0 *)
Eval simpl in vreplicate_fix 3 true.
Eval simpl in vreplicate_rect 3 true.
(* both => = vcons true (vcons true (vcons true vnil)) : vec bool 3 *)
事实上,它们是一样的:
(* Note: these two functions do the same thing, but are not syntactically
equal; the former is a fixpoint, the latter is a function which returns a
fixpoint. This sort of equality is all you generally need in practice. *)
Goal forall (A : Type) (a : A) (n : nat),
vreplicate_fix n a = vreplicate_rect n a.
Proof. induction n; [|simpl; rewrite IHn]; reflexivity. Qed.
上面,我和 friend 们提出了重新实现
n'
的练习。答案如下:Fixpoint nat_rect' (P : nat -> Type)
(base_case : P 0)
(recurse : forall n', P n' -> P (S n'))
(n : nat)
: P n :=
match n with
| O => base_case
| S n' => recurse n' (nat_rect' P base_case recurse n')
end.
这有希望说明
vreplicate_fix
如何抽象递归模式,以及为什么它足够通用。关于types - coq Set 或 Type 如何成为命题,我们在Stack Overflow上找到一个类似的问题:https://stackoverflow.com/questions/17254011/