我为一个小型的自制计算机代数系统写了一个递归算法,在这个算法中,我对代数运算的操作数列表应用成对约化(仅相邻操作数,因为代数是非交换的)。我想知道我的算法的运行时复杂度(但不幸的是,作为一个物理学家,我已经经历了很长一段时间,因为我参加了任何处理复杂分析的下层CS课程)。在不详细讨论具体问题的情况下,我想我可以将算法形式化为一个函数f
即“divide”步骤和一个函数g
合并结果。然后,我的算法将采用以下形式表示:
f(1) = 1 # recursion anchor for f
f(n) = g(f(n/2), f(n/2))
g(n, 0) = n, g(0, m) = m # recursion ...
g(1, 0) = g(0, 1) = 1 # ... anchors for g
/ g(g(n-1, 1), m-1) if reduction is "non-neutral"
g(n, m) = | g(n-1, m-1) if reduction is "neutral"
\ n + m if no reduction is possible
在这种表示法中,函数
f
和g
接收列表作为参数和返回列表,输入/输出列表的长度是上述公式的参数和右侧。对于整个故事,对应于
f
和g
的实际代码如下:def _match_replace_binary(cls, ops: list) -> list:
"""Reduce list of `ops`"""
n = len(ops)
if n <= 1:
return ops
ops_left = ops[:n//2]
ops_right = ops[n//2:]
return _match_replace_binary_combine(
cls,
_match_replace_binary(cls, ops_left),
_match_replace_binary(cls, ops_right))
def _match_replace_binary_combine(cls, a: list, b: list) -> list:
"""combine two fully reduced lists a, b"""
if len(a) == 0 or len(b) == 0:
return a + b
if len(a) == 1 and len(b) == 1:
return a + b
r = _get_binary_replacement(a[-1], b[0], cls._binary_rules)
if r is None:
return a + b
if r == cls.neutral_element:
return _match_replace_binary_combine(cls, a[:-1], b[1:])
r = [r, ]
return _match_replace_binary_combine(
cls,
_match_replace_binary_combine(cls, a[:-1], r),
b[1:])
我对最坏情况下
get_binary_replacement
的次数感兴趣调用,具体取决于
ops
最佳答案
所以我想我现在明白了。要重述这个问题:当使用输入的size_get_binary_replacement
调用_match_replace_binary
时,查找对n
的调用数。
定义函数g(n, m)
(与原来的问题一样),它将_match_replace_binary_combine
的两个输入的大小映射到输出的大小
定义一个函数T_g(n, m)
,它将_match_replace_binary_combine
的两个输入的大小映射到获取结果所需的对g
的调用总数。这也是每次调用_get_binary_replacement
最多一次时调用_match_replace_binary_combine
的次数(最坏情况)
我们现在可以考虑_get_binary_replacement
的最坏情况和最佳情况:
最佳情况(不减少):g
,g(n,m) = n + m
最坏情况(所有非中性还原):T_g(n, m) = 1
,g(n, m) = 1
(我根据经验确定)
现在,master theorem (WP)适用于:
查看关于wp的说明:T_g(n, m) = 2*(n+m) - 1
(递归锚用于大小1)
我们在恒定时间内分裂成k=1
个大小a = 2
的子问题。
解决子问题后,合并结果所需的工作量n/2
这是最坏情况下的d = 1
(大约c = T_g(n/2, n/2)
),最好的情况是1。
因此,在主定理WP页上的例子中,最坏情况的复杂性是n-1
,并且最好的情况复杂度是n
。
实证试验似乎证明了这一结果。有人反对我的推理吗?
关于python - 嵌套递归函数的复杂度分析,我们在Stack Overflow上找到一个类似的问题:https://stackoverflow.com/questions/40535505/