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标准方程法
标准方程法是求取参数的另一种方法,不需要像梯度下降法一样进行迭代,可以直接进行结果求取
那么参数W如何求,下面是具体的推导过程
因此参数W可以根据最后一个式子直接求取,但是我们知道,矩阵如果线性相关,那么就无法取逆,如下图
因此,对比梯度下降法和标准方程法我们可以得到下面的图
下面的demo是标准方程法实现拟合
import numpy as np
from matplotlib import pyplot as plt
from numpy import genfromtxt
#载入数据
data = genfromtxt('data.csv',delimiter=',')
x_data = data[:,,np.newaxis]#一维变为二维
y_data = data[:,,np.newaxis]
plt.scatter(x_data,y_data)
plt.show()
print(np.mat(x_data).shape)
print(np.mat(y_data).shape)
#给样本添加偏置项
X_data = np.concatenate((np.ones((,)),x_data),axis=)
print(X_data.shape)
#标准方程法求解回归参数
def weights(xArr, yArr):
xMat = np.mat(xArr)#array变为mat,方便进行矩阵运算
yMat = np.mat(yArr)
xTx = xMat.T * xMat
if np.linalg.det(xTx) == 0.0: #一、np.linalg.det():矩阵求行列式二、np.linalg.inv():矩阵求逆三、np.linalg.norm():求范数
print("该矩阵不可逆")
return
ws = xTx.I * xMat.T * yMat
return ws
ws = weights(X_data,y_data)
print(ws[].shape)
#画图
x_test = np.array([[], []])
print(x_test.shape)
y_test = ws[] + x_test * ws[]
plt.plot(x_data, y_data, 'b.')
plt.plot(x_test, y_test, 'r')
plt.show()
捎带一下两个小的知识点
数据归一化
由于单位的原因,不同单位之间数据产别太大,影响数据分析,所以我们一般会对某些数据进行归一化,即把数据归一化到某个范围之内。
交叉验证
当样本数据比较小的时候,为了避免验证集“浪费”太多的训练数据,采用样本交叉验证的方法,并把平均值作为结果
过拟合,欠拟合,正确拟合
过拟合会导致训练集拟合效果好,测试集效果差,欠拟合都差。为防止过拟合
正则化就是在原来的损失函数基础上加入一项,来减少高次项的值,使得曲线平滑
岭回归
为解决标准方程法中存在的矩阵不可逆问题,引入了岭回归
import numpy as np
from matplotlib import pyplot as plt
from sklearn import linear_model
#读取数据
data = np.genfromtxt("longley.csv", delimiter=',')
print(data)
#切分数据
x_data = data[:,:]
y_data = data[:,]
#创建模型
#生成0.001到1的五十个岭系数值
alphas_to_test = np.linspace(0.001, )#从0.001到1共五十个数据,默认在start和end之间有50个数据,这五十个数据是假设的岭系数
model = linear_model.RidgeCV(alphas= alphas_to_test, store_cv_values= True)#store_cv_values表示存储每个岭系数和样本对应下的损失值
model.fit(x_data, y_data)
print(model.alpha_)#最小损失函数对应的岭系数
print(model.cv_values_.shape)#*50的矩阵
#绘图
#岭系数和loss值得关系
plt.plot(alphas_to_test, model.cv_values_.mean(axis = ))# 求在每个系数下对应的平均损失函数,axis=1表示横轴,方向从左到右;0表示纵轴,方向从上到下
plt.plot(model.alpha_, min(model.cv_values_.mean(axis = )),'ro')#最优点
plt.show()
model.predict(x_data[,np.newaxis])#对一个样本进行预测
岭系数和损失函数对应的关系图
简单说一下arange,range,linspace的区别,arange和range都是在start和end之间以step作为等差数列对应的数组,只不过arange的step
可以是小数,而range必须为整数,而且arange属于numpy,linspace则是在start和end之间取num个数 np.linspace(start,end,num)
LASSO算法
由于岭回归计算得到的系数很难为0,而Lasso算法可以使一些指标为0
从上图可以看出,LASSo在入系数某个取值下某些特征的系数就归为0了
交点处变为最优取值处
import numpy as np
from matplotlib import pyplot as plt
from sklearn import linear_model
#读取数据
data = np.genfromtxt("longley.csv", delimiter=',')
print(data)
#切分数据
x_data = data[:,:]
y_data = data[:,]
#创建模型
model = linear_model.LassoCV()
model.fit(x_data,y_data)
#lasso系数
print(model.alpha_)
#相关系数,发现某些系数为零,说明这些系数权重比较小,可以忽视
print(model.coef_)#[0.10206856 0.00409161 0.00354815 . . . ]
#验证
model.predict(x_data[-,np.newaxis])
弹性网
对lasso和岭系数方法综合起来
import numpy as np
from matplotlib import pyplot as plt
from sklearn import linear_model
#读取数据
data = np.genfromtxt("longley.csv", delimiter=',')
print(data)
#切分数据
x_data = data[:,:]
y_data = data[:,]
#创建模型
model = linear_model.ElasticNetCV()
model.fit(x_data,y_data)
#lasso系数
print(model.alpha_)
#相关系数,发现某些系数为零,说明这些系数权重比较小,可以忽视
print(model.coef_)#[0.10206856 0.00409161 0.00354815 . . . ]
#验证
print(model.predict(x_data[-,np.newaxis]))