介绍
在上一篇 CKKS Part3: CKKS的加密和解密 ，我们看到了如何基于RLWE问题创建同态加密方案，实现同态加法和密文明文乘法。
虽然执行密文-明文乘法很容易，但正如我们将看到的，密文-密文要复杂得多。事实上，我们需要处理很多事情才能正确地完成它，比如找到正确的操作，这样一旦解密，我们就可以得到两个密文的乘积，以及管理密文的大小。
因此，本文将介绍密文乘法和重新线性化的概念，以减少生成的密文的大小。
基本概念
为了了解我们将如何在CKKS中执行密文-密文乘法，让我们回顾一下我们在前一篇文章中看到的内容。
首先，记住我们研究的是多项式空间\(R_{q}=\Zeta _{q}\left[ X \right]/\left( X^{N}+1 \right)\)。我们将s作为我们的私钥，然后我们可以安全地输出一个公钥p=（b，a）=(−a. s+e，a），其中a均匀取样\(R_{q}\)、 e是一个小的随机多项式。
然后我们有\(\mbox{E}ncrypt\left( u,s \right)=c=\left( c_{0},c_{1} \right)=\left( u,0 \right)+p=\left( b+u,a \right)\in R_{q}^{2}\)是明文\(u \in \Zeta _{q}\left[ X \right]/\left( X^{N}+1 \right)\)使用公钥p的加密操作。要使用私钥s解密密文c，我们执行以下操作：$$Decrypt\left( c,s \right)=c_{0}+c_{1}.s=u+e$$
然后我们发现定义一个在密文上的加法运算\(𝙲_{𝙰𝚍𝚍}（c，c′）\)很容易，所以一旦我们解密\(𝙲_{𝙰𝚍𝚍}\) 我们将大致得到两个基本明文的加法。
实现这一点的方法是定义\(𝙲_{𝙰𝚍𝚍}\) 具体如下：$$\mbox{C}{Add}\left( c,c' \right)=\left( c{0}+c_{0}',c_{1}+c_{1}' \right)=c+c'=c_{add}$$
事实上，如果我们对其应用解密操作，我们会得到：$$Decrypt\left( c_{add},s \right)=c_{0}+c_{0}'+\left( c_{1}+c_{1}' \right).s=c_{0}+c_{1}.s+c_{0}'+c_{1}'.s=Decrypt\left( c,s \right)+Decrypt\left( c',s \right)约等于u+u'$$
这里我们看到，对密文做加法非常简单，我们只需要将两个密文相加，我们可以使用常规的解密操作来解密结果，以获得两个对应明文的相加。
我们将看到，在进行密文乘法时，乘法和解密操作都更加复杂。
密文-密文乘法
现在我们看到了这一点，我们看到我们的目标是找到操作\(𝙲_{𝙼𝚞𝚕𝚝},𝙳𝚎𝚌𝚛𝚢𝚙𝚝𝙼𝚞𝚕𝚝\), 对于两个密文c，c′我们有：\(DecryptMult\left( \mbox{C}_{Mult}\left( c,c' \right),s \right)=Decrypt\left( c,s \right).Decrypt\left( c',s \right)\)，切记\(Decrypt\left( c,s \right)=c_{0}+c_{1}.s\)，我们展开上面的式子得到：