相互递归 | 窗户

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　　作者：窗户

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　　相互递归就是多个函数互相定义，最常见的就是两个函数，比如f和g，f的定义中用到g，而g的定义中用到f。

　　相互递归一样有无限递归的可能，最简单的:

　　f:x->g(x)

　　g:x->f(x)

　　给个最简单的没有无限递归的例子，判断一个正整数是不是偶数或者是不是奇数，用C++来描述如下:

bool is_odd(unsigned x);
bool is_even(unsigned x)
{
        if(x == 0u)
                return true;
        return is_odd(x-1u);
}
bool is_odd(unsigned x)
{
        if(x == 0u)
                return false;
        return is_even(x-1u);
}

　　以上效率虽然不高（甚至不优化的情况下，可能会崩栈），但是is_even和is_odd两个函数毕竟是相互定义的，也是相互递归的一个经典例子。

　　Scheme当然一样支持相互递归，r5rs中也是以上述奇偶来做例子。

(define (even? x)
 (if (zero? x)
  #t
  (odd? (- x 1))
 )
)
(define (odd? x)
 (if (zero? x)
  #f
  (even? (- x 1))
 )
)

　　再给个稍微复杂的例子，Scheme里的append是个常用的函数，它可以传入一组列表，得到这组列表首尾拼接在一起的列表。比如：(append '(1 2 3) '(4 5 6) '(7 8 9))得到(1 2 3 4 5 6 7 8 9)。

　　每个人学习Scheme的过程，基本必然伴随着append函数的自我实现。

　　以下是其中一种实现(当然，append有好几种不同的实现思想)：

(define (append . lst)
 (if (null? lst)
  '()
  ((apply _append (cdr lst)) (car lst))
 )
)

(define (_append . lst)
 (cond
  ((null? lst) (lambda (x) x))
  ((null? (cdr lst))
   (lambda (x)
    (if (null? x)
     (car lst)
     (cons (car x) ((_append (car lst)) (cdr x)))
    )
   )
  )
  (else (_append (apply append lst)))
 )
)

　　当然，_append一般应该实现在append的内部，我这么写也是为了表示的清楚一点。这种写法是一种相对高级一点的写法，采用的算子方式，不断用闭包来传递信息，并使用了相互递归，append和_append两个函数互相定义。

　　当然，一开始就说了，相互递归完全可以不只是两个函数之间的关系，可以是多个函数之间的关系。

　　我这里给个例子，把正整数按照除以3得到的余数分为三类，把整除3的数称为type0，把除以3余1的数称为type1，把除以3余2的数称为type2。于是定义三个谓词函数type0? type1? type2?

　　以下为实现：

(define (type0? x)
 (if (= x 0)
  #t
  (type2? (- x 1))
 )
)
(define (type1? x)
 (if (= x 0)
  #f
  (type0? (- x 1))
 )
)
(define (type2? x)
 (if (= x 0)
  #f
  (type1? (- x 1))
 )
)

　　我们可以看到，

　　type0?的定义中用到type2?

　　type1?的定义中用到type0?

　　type2?的定义中用到type1?

　　测试一下，

(for-each
 (lambda (x) (display x)(newline))
 (map
  (lambda (x)
   (cons
    x
    (map (lambda (f) (f x)) (list type0? type1? type2?))
   )
  )
  (range 20)
 )
)

　　得到

(0 #t #f #f)
(1 #f #t #f)
(2 #f #f #t)
(3 #t #f #f)
(4 #f #t #f)
(5 #f #f #t)
(6 #t #f #f)
(7 #f #t #f)
(8 #f #f #t)
(9 #t #f #f)
(10 #f #t #f)
(11 #f #f #t)
(12 #t #f #f)
(13 #f #t #f)
(14 #f #f #t)
(15 #t #f #f)
(16 #f #t #f)
(17 #f #f #t)
(18 #t #f #f)
(19 #f #t #f)