LaTex+MarkDown+Pandoc组合套件写博客的处女作，试试效果。各自的分工为：Latex下编辑公式，在Sublime Text 2下使用Markdown排版，最后用Pandoc导出。
摘要
本文主要讲解 Binary , Unsigned , Signed 三种数据中任意两者之间的转换。下面是文中的一些约定写法。
- 转换名称
- B2U(x) : 将位数为w的二进制数 binary 转换为无符号数Unsigned
- B2T(x) : 将位数为w的二进制数 binary 转换为补码 Two's complement
- 二进制数的表示 (x) : 用一个向量表示，x = ( x , x , ... , x)
1. U2B(x)
直接用辗转相除法即可。
2. S2B(x)
正数直接装换，然后左边添加0 ； 负数先将其绝对值装换成二进制数，再对低w-1位取反，最高位添加1，用公式表示即为： 下面以三位的三进制数来说明有符数的补码表示
- 3 = 011
- 2 = 010
- 1 = 001
- 0 = 000
- -1 = 111
- -2 = 110
- -3 = 101
- -4 = 100
3. B2U(x)
\begin{equation} B2U_w\left( \overrightarrow{x} \right) \doteq \sum_{i=0}^{w-1} x_i 2^i \label{B2U} \end{equation}
4. B2T(x)
\begin{equation}B2T_w\left( \overrightarrow{x} \right) \doteq -x_{w-1} 2^{w-1} + \sum_{i=0}^{w-2} x_i 2^i \label{B2T} \end{equation}
5. T2U(x)
函数 T2U(x) 定义为 T2U(x) = T2B(B2U(x)) 。这个函数输入的是一个 -2 ~ 2-1 之间的数，而输出的无符数也即为该有符数的补码表示。
对于位模式 下的有符二进制数 $\overrightarrow{x}$ ，对比式($\ref{B2U}$) 和式($\ref{B2T}$) , 计算两者之差，我们就可以得到：$ B2U_w\left( \overrightarrow{x} \right) - B2T_w\left( \overrightarrow{x} \right) = x_{w-1} \left( 2^{w-1} - \left( -2^{w-1} \right) \right) = x_{w-1} 2^w $ 。这样就得到了：$B2U_w\left( \overrightarrow{x} \right) = x_{w-1} 2^w + B2T_w\left( \overrightarrow{x} \right)$。若令 $\overrightarrow{x} = T2B_w \left( x \right) $ ，则其反函数为 $ x = B2T_w \left( \overrightarrow{x} \right) $。 由前面三式以及T → B → U变换的传递性，可得：
\begin{equation} B2U_w\left( T2B_w \left( x \right) \right) = T2U_w \left( x \right) = x_{w-1} 2^w + x \label{T2U} \end{equation}
这个关系对于理解“有符数变换得到的无符数也即补码”很有用。
$$ T2U_w \left( x \right)=\left\{
\begin{aligned}
& x+2^w, & x<0,x_{w-1}=1 \\
& x, & x \geq 0,x_{w-1}=0
\end{aligned}
\right.$$
下图说明了 T2U 的转换行为：对于非负数（x ≥ 0）, T2U 保留原值 ：
图1. 从补码到无符号数的转换。函数 将负数转换为大的正数
6. U2T(x)
函数 U2T(x) 定义为 U2T(x) = B2T(U2B(x)) 。这个函数输入的是一个 0 ~ 2-1 之间的数，输出则为一个 -2 ~ 2 之间的数。
上一节我们已经得到，对于负数（x < 0）,T2U 被装换为一个大于2的正数。
反过来，我们再来推导无符号数 u 和与之对应的有符号数 U2T(u)之间的关系。 利用上一节的结论， $B2T_w\left( \overrightarrow{u} \right) = B2U_w\left( \overrightarrow{u} \right) - u_{w-1} 2^w$ 。若令 $\overrightarrow{u} = U2B_w \left( u \right)$，则其反函数为 $u = B2U_w \left( \overrightarrow{x} \right)$ 。由前面三式以及 T → B → U 变换的传递性，可得：
\begin{equation}B2T_w\left( U2B_w \left( u \right) \right) = U2T_w \left( u \right) = u - u_{w-1} 2^w \label{U2T} \end{equation}
在 u 原始的无符号表示法中，最高位u决定了 u 是否大于或等于 2, 无符数 u 到有符数的装换分段表示为：
$$ U2T_w \left( u \right)=\left\{
\begin{aligned}
& u, & u<2^{w-1},x_{w-1}=0 \\
& u-2^w, & x \leq 0,x_{w-1}=1
\end{aligned}
\right.$$
下图说明了 U2T 转换行为：对于小的数（u < 2）, U2T 保留原值 ； 对于大的数（u ≥ 2）,U2T 被装换为一个负数：
图2.从无符号数到补码的转换。函数U2T 把大于 的数字转换为负值
练习
1.如下函数，在32bit系统中，求问foo(2^31-3)的值是：
int foo(int x) {
return x&-x;
}A.0 B.1 C.2 D.4
解答：
- (1).运算符号的优先级，减号 '-' 高于异或 '^' 。所以 2(31-3)=2^28=30
- (2).32位机器中int整型的位数的为 w=32 ，位运算 x 取反,其实为 0xFFFFFFFF-x ,而不是用 2 减去。
- (3).本题中，x=30=0x1E ,依据 T2U 可得 -x=0xFFFFE2,所以_x&-x=2_,本题选B
- (4)有么有更简单方法。
- 用 15, 16 ,48 三个数验证结论
- x=15=0x0F , -x=-15=2-0x0F=0xFFFFFFF1 , 所以 x&-x=0xF1 & 0x0F = 1 ;
- x=16=0x10 , -x=-16=2-0x10=0xFFFFFF0 , 所以 x&-x=0xF0 & 0x10 = 16
- x=48=0x30 , -x=-48=2-0x30=0xFFFFFD0 , 所以 x&-x=0xD0 & 0x30 = 16
- 总结起来就是, x&-x 得到的是数x的最低一位的非0比特数。
reference