小水题。题意就是不断随机放一个 \(1 \times 2\) 骨牌,然后取走里面的东西。求期望多少次取走所有的东西。然后有一维很小。

首先显然 minmax 容斥,将最后取走转化为钦定一些物品,求第一个取走的期望。

然后显然第一个取走的期望只和剩下能盖到物品的骨牌数有关。

一个骨牌能盖到物品只和相邻的两个格子是否钦定了物品有关。这个显然可以轮廓线优化。

然后套用 minmax 容斥公式直接算出来。

复杂度 \(O\left(n^2m^2 2^n\right)\)

数组清空写错了,导致 dp 状态 disappeared……调了好一会……

#include <bits/stdc++.h>

const int mod = 998244353;
typedef long long LL;
void reduce(int & x) { x += x >> 31 & mod; }
int mul(int a, int b) { return (LL) a * b % mod; }
int fastpow(int a, int b, int res = 1) {
for (; b; b >>= 1, a = mul(a, a)) if (b & 1) res = mul(res, a);
return res;
}
int dp[2][1 << 6][1200], ansl[1200];
int n, m;
bool mat[110][10];
char buf[110];
int main() {
std::ios_base::sync_with_stdio(false), std::cin.tie(0);
std::cin >> n >> m;
const int E = n * (m - 1) + m * (n - 1);
for (int i = 0; i != n; ++i) {
std::cin >> buf;
for (int j = 0; j != m; ++j)
mat[j][i] = buf[j] == '*';
}
const int U = 1 << n;
int lst = 0, now = 1;
dp[now][0][0] = mod - 1;
for (int i = 0; i != m; ++i) {
for (int j = 0; j != n; ++j) {
std::swap(lst, now);
for (int k = 0; k < U; ++k)
memset(dp[now][k], 0, E + 1 << 2);
bool can = mat[i][j];
for (int l = 0; l != U; ++l) {
int delta = 0;
if (i) delta += ~l >> j & 1;
if (j) delta += ~l >> j - 1 & 1;
int tar = l & ~(1 << j), tar2 = tar | 1 << j;
for (int k = 0; k <= E; ++k)
if (int t = dp[lst][l][k]) {
reduce(dp[now][tar][k + delta] += t - mod);
if (can) reduce(dp[now][tar2][k] -= t);
}
}
}
}
for (int i = 0; i != U; ++i)
for (int j = 0; j <= E; ++j)
reduce(ansl[j] += dp[now][i][j] - mod);
int ans = 0;
for (int i = 0; i < E; ++i)
reduce(ans += fastpow(E - i, mod - 2, ansl[i]) - mod);
ans = mul(ans, E);
std::cout << ans << std::endl;
return 0;
}
05-14 13:15