vijos 小三学算术

描述

小三的三分球总是很准的，但对于数学问题就完全没有想法了，他希望你来帮他解决下面的这个问题：对于给定的n，从1!、2!、3!、……、n!中至少删去几个数，才可以使剩下的数的乘积为完全平方数？

格式

输入格式

仅一行，包含一个整数n(1≤n≤500)。

输出格式

第一行包含一个整数k，表示最少需要删去的数字个数。

接下来一行，从小到大排列的k个[1,n]之间的整数，给出删数的方案。如果方案不止一种，输出方案从小到大排序序列最小的一组即可。

样例1

样例输入1

5

样例输出1

2

2 5

限制

各个测试点1s

提示

样例说明：去掉2!和5!，剩下的是4!、3!和1!，它们的乘积为4!×3!×1!=24×6=144。

分析：数学一本通上一本非常神的题.先对每个数分解质因数，如果一个数是完全数，那么它的所有质因子的次数一定要是偶数，这样的话很难操作，没有什么特别好的方法.尝试搜索，因为不知道要删掉几个数，可以用迭代深搜，可能会惊奇地发现自己过了，因为这道题有一个结论：答案不超过3.

先把阶乘两两分组，(1*2!)*(3!*4!)*(5!*6!)......每一组前面的数会被后面的数所覆盖，这些数的质因子的次数一定是偶数，那么把每一组对答案有影响的数给提出来：2*4*6*......再提一个2出来：

2*(1*2*3*......)=2!*(n/2)!那么删掉这两个阶乘就好了.这是n为偶数的情况，如果n为奇数，那么就把最后单独的那一个给删掉，然后就变成了偶数的情况，所以最多删3个数.

奇偶性的转换可以利用异或运算来实现.不过代码有缺陷，质因子个数可能会大于300.自己改不动了......

#include <cstdio>

#include <cmath>

#include <map>

#include <cstring>

#include <iostream>

#include <algorithm>

using namespace std;

typedef long long ll;

ll n, maxn, use[], prime[], vis[], tot, sta[], tsta, staa[];

ll num[], ans[];

bool flag = false;

//位运算

void dfs(ll dep, ll maxx, ll nowsta, ll num)

{

    if (dep == n +  || num == maxx + )

    {

        if (nowsta == )

        {

            for (ll i = ; i <= maxx; i++)

                ans[i] = use[i];

            flag = ;

        }

        return;

    }

    ll temp = nowsta ^ sta[dep];

    dfs(dep + , maxx, nowsta, num);

    use[num] = dep;

    dfs(dep + , maxx, temp, num + );

}

void init()

{

    for (ll i = ; i <= ; i++)

    {

        if (!vis[i])

            prime[++tot] = i;

        for (ll j = ; j <= tot; j++)

        {

            ll t = prime[j] * i;

            if (t > )

                break;

            vis[t] = ;

            if (i % prime[j] == )

                break;

        }

    }

}

int main()

{

    init();

    scanf("%lld", &n);

    for (ll i = ; i <= n; i++)

    {

        ll x = i;

        for (ll j = ; j <= ; j++)

        {

            ll p = ;

            while (x && x % prime[j] == )

            {

                x /= prime[j];

                p = (p + ) % ;

            }

            if (p == )

                staa[i] |= (1LL << (j - ));

        }

    }

    memcpy(sta, staa, sizeof(staa));

    for (ll i = ; i <= n; i++)

        for (ll j = ; j < i; j++)

            sta[i] ^= staa[j];

    for (ll i = ; i <= n; i++)

    {

        if (i == )

            tsta = sta[i];

        else

            tsta ^= sta[i];

    }

    while ()

    {

        maxn++;

        memset(use, , sizeof(use));

        dfs(, maxn, tsta, );

        if (flag)

        {

            printf("%lld\n", maxn);

            for (int i = ; i <= maxn; i++)

                printf("%lld ", ans[i]);

            break;

        }

    }

    return ;

}