确界原理的存在性证明

以前学过华东师大的实分析教材，里面对于确界原理的证明是通过十进制数进行的。最近看到了《陶哲轩实分析>，该书通过cauchy列来构造实数集，然后直接证明所构造的实数集满足确界原理，感觉比较有意思。对于确界原理中的唯一性证明，命题5.5.8已经很好地证明了。但对于存在性，定理5.5.9只给出了证明框架，其中证明过程用到了许多存在于习题中的命题，个人觉的有必要完成这些习题的证明，故立此贴。

本文主要要证明如下的5个习题：
习题5.5.2
习题5.5.3
习题5.5.4
习题5.3.5
习题5.4.8


证明：假设不存在整数m使得上述结论成立。满足L(1)　m/n是E的上界，且(m-1)/n也是E的上界，在这种情况下取m=L+1，会得出矛盾
(2)　m/n是E的下界，且(m-1)/n也是E的下界，在这种情况下取m=K，也会得出矛盾
(3)　m/n是E的下界，而(m-1)/n却是E的上界，这种情况不可能发生
综上可知，满足条件的m是存在的，命题得证。