『月之谜数位dp』

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<正文>

月之谜

Description

打败了Lord lsp 之后，由于lqr 是一个心地善良的女孩子，她想净化Lord lsp 黑化的心，使他变回到原来那个天然呆的lsp……在倒霉的光之英雄applepi 的指引下，lqr 来到了月之泉。月之泉的精灵告诉她，想要净化Lord lsp 的话，就要解出月之泉的谜题。

具体地来说是这样的，定义月之数为能够被其十进制表示下各个数位的和整除的数。给定整数L,R，你需要计算出区间[L, R]中有多少个月之数。 lqr 发觉这不是数学竞赛能够解决的问题，于是她又找到了你……所以说你需要帮助她解决这个问题。

Input Format

输入包含多个测试数据。

每组测试数据占一行，含有两个整数L 和R。

输入文件以EOF 结束。

Output Format

对于每组测试数据，在单独的一行内输出结果。

Sample Input

1 100

101 200

Sample Output

33

26

解析

有点复杂，但肯定还是数位$dp$。

设$f[i][j][k][l]$表示长度为$i$的数，各个数位之和为$j$，数值$\bmod\ k=l$的月之数个数。状态的二三四维，其实都是为了满足统计答案的限制服务的。

还是考虑最高位填的数字是什么，可以得到状态转移方程：

\[f[i][j][k][l]=\sum_{p=0}^9f[i-1][j-p][k][(l-p\times 10^{i-1})\bmod k]
\]

这个方程的边界比较难以处理，所以我们可以暴力计算出$i=0$和$i=1$时有关状态的$dp$值。

然后就是考虑得到区间$[1,n]$中月之数的个数。首先我们枚举各位数字之和$sum$，然后还是从高位开始枚举，得到与原数不同的第一个位$i$，假设$n=\sum_{i=1}^{cnt}num[i]\times10^{i-1}$，就是$n$的十进制各个位，并且当前我们得到了$$t=\sum_{j=1}{i-1}num[j]\times10^{j-1}\right)\bmod sum$$

那么我们枚举这一位填的值$p$，若$p<num[i]$，则后面可以随便填，累加答案$f[i-1][sum-t-p][sum][(sum-q-p\times 10^{i-1})\bmod sum]$。反之，若$p=num[i]$，则更新$t,q$，继续尝试下一位即可。

$Code:$

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int N = 12 , S = 92;

long long f[N][S][S][S],Pow[N];

int num[N];

inline int sub(long long a,long long b,int mod) { return ( ( a - b ) % mod + mod ) % mod; }

inline void Prepdp(void)

{

    Pow[0] = 1;

    for (int i=1;i<=10;i++) Pow[i] = Pow[i-1] * 10;

    for (int k=1;k<=90;k++) f[0][0][k][0]++;

    for (int i=0;i<=9;i++)

        for (int k=1;k<=90;k++)

            f[1][i][k][i%k]++;

    for (int i=2;i<=10;i++)

        for (int j=0;j<=i*9;j++)

            for (int k=1;k<=90;k++)

                for (int l=0;l<k;l++)

                    for (int p=0;p<=min(9,j);p++)

                        f[i][j][k][l] += f[i-1][j-p][k][sub(l,p*Pow[i-1],k)];

}

inline long long solve(long long x)

{

    if ( x == 0 ) return 0;

    int cnt = 0; long long res = 0 , y = x , s = 0;

    memset( num , 0 , sizeof num );

    while ( x ) s += num[++cnt] = x % 10 , x /= 10;

    if ( y % s == 0 ) res++;

    for (int sum=1;sum<=90;sum++)

    {

        int t = 0 , q = 0;

        for (int i=cnt;i>=1;i--)

        {

            for (int p=0;p<min(num[i],sum-t+1);p++)

                res += f[i-1][sum-t-p][sum][sub(sum,q+p*Pow[i-1],sum)];

            t += num[i] , q = ( q + num[i] * Pow[i-1] ) % sum;

            if ( t > sum ) break;

        }

    }

    return res;

}

int main(void)

{

    Prepdp();

    long long l,r;

    while ( ~scanf("%lld%lld",&l,&r) )

    {

        long long ans = solve(r) - solve(l-1);

        printf("%lld\n",ans);

    }

    return 0;

}

<后记>

月之