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bvp4c--语法
1. bvp4c：
sol = bvp4c(odefun,bcfun,solinit)
sol = bvp4c(odefun,bcfun,solinit,options)
sol = bvp4c(odefun,bcfun,solinit,options,p1,p2...)
sol返回如下值
sol.x bvp4c选择的网格
sol.y 在网格点sol.x的 y(x)的接近值
sol.yp 在网格点sol.x的 y'(x)的接近值
sol.parameters 未知参数的值
sol.solver 'bvp4c'
2.odefun 为微分方程
dydx = odefun(x,y)
dydx = odefun(x,y,p1,p2,...)
dydx = odefun(x,y,parameters)
dydx = odefun(x,y,parameters,p1,p2,...)
parameters 为未知参数向量，p1和p2...为已知参数向量
dydx为列向量
3. bcfun 计算边界条件的残留值bc( y(a),y(b) ),输出列向量
res = bcfun(ya,yb)
res = bcfun(ya,yb,p1,p2,...)
res = bcfun(ya,yb,parameters)
res = bcfun(ya,yb,parameters,p1,p2,...)
4. solinit
solinit的结构如下：
x 初始网格的节点(相当于自变量的节点)，边界条件满足a=solinit.x(1) 和 b=solint.x(end)
y 解的初始假设，solinit.y(:,i) 为自变量solinit.x(i)对应的解的估计值
parameters 可选，未知参数的初始估计向量，对于存在未知参数的情况，必须提供
sol.y(1,1).............. sol.y(1,i)............. sol.y(1,end)
...
sol.y(m,1).............. sol.y(m,i)............. sol.y(m,end)
sol.x(1) ................sol.x(i) .................sol.x(end)
solinit的赋值语句为bvpinit,语法如下
solinit = bvpinit(x,v)
solinit = bvpinit(x,v,parameters)
solinit = bvpinit(sol,[anew bnew])
solinit = bvpinit(sol,[anew bnew],parameters)
x为初始网格向量，对于边界区间[a,b]需满足 x(1)=a, x(end)=b, 一般情况下可用 x=linspace(a,b,10)
v为解的估计，可以是一个向量，也可以是一个函数
v为向量的情况，v(i)代表的就是 y(i,:),也就是不管自变量为多少y(i)都是这个值，向量的维数等于因变量个数
v为函数的情况，对于给定一个网格，函数必须返回一个向量y(1),y(2),y(3)...y(m)
y=guess(x) 代表的是 y(:,j)=guess( x(j) )
solinit = bvpinit(sol,[anew bnew])
由[a,b]上的解sol，得到[anew,bnew]的解的初始估计，so either anew <= a < b <= bnew or anew >= a > b >= bnew
5.deval 评估 自变量=xint时候的解
sxinit= deval(sol.xint)
6. options的设置 bvpset语句
options = bvpset('name1',value1,'name2',value2,...)
options = bvpset(oldopts'name1',value1,...)
options = bvpset(oldopts,newopts)
name value
RelTol 正标量 默认为1e-3 相对精度
AbsTol 正标量 默认为1e-6 绝对精度
Vectorized on或者off 将ode函数F([x1 x2 ...],[y1 y2 ...]),写成[F(x1,y1) F(x2,y2) ...]. 的形式，能减少函数评估的次数，降低运行时间
SingularTerm 矩阵 方程的奇异项， 如 y'=Sy/x + f(x,y,p) x=[0,b] ,则设置常数矩阵S
FJacobian 函数、矩阵或元胞数组 提供odefun的解析偏导数 对于y'=f(x,y)，则提供f对y的偏导数，若偏导数都为常数项，则用元胞数组的形式给出；若有未知参数，还需计算对未知参数的偏导数
BCJacobian 函数、元胞数组 提供边界函数bcfun的解析偏导数 bc(ya,yb)=0 则计算bc对ya,yb 的偏导数，若有未知参数p还需计算未知参数的偏导数：[DBCDYA,DBCDYB,DBCDP] = BCJAC(YA,YB,P)
Nmax 正整数 网格的最大值
Stats on 或者off 显示计算过程的统计数据
算法原理：
bvp4c is a finite difference code that implements the three-stage Lobatto IIIa formula. This is a collocation formula and the collocation polynomial provides a C1-continuous solution that is fourth order accurate uniformly in [a,b]. Mesh selection and error control are based on the residual of the continuous solution.
% bvp4c_fun.m
% 求解微分方程边值问题
S=[
-];
options=bvpset('SingularTerm',S);
% 得到微分方程的初场
guess=[sqrt()/;];
solinit=bvpinit(linspace(,,),guess);
sol=bvp4c(@emdenode,@emdenbc,solinit,options);
% 根据分析解计算
x=linspace(,);
truy=./sqrt(+(x.^)/);
% 绘制图形结果
plot(x,truy,'b-');
hold on;
plot(sol.x,sol.y(,:),'ro');
legend('analytical','computed');
xlabel('x'),ylabel('y');
hold off;