google到数学里定义的群(group): G为非空集合，如果在G上定义的二元运算 *，满足
（1）封闭性（Closure）：对于任意a，b∈G，有a*b∈G
（2）结合律（Associativity）：对于任意a，b，c∈G，有（a*b）*c=a*（b*c）
（3）幺元 （Identity）：存在幺元e，使得对于任意a∈G，e*a=a*e=a
（4）逆元：对于任意a∈G，存在逆元a^-1，使得a^-1*a=a*a^-1=e
则称（G，*）是群，简称G是群。
如果仅满足封闭性和结合律，则称G是一个半群（Semigroup）；如果仅满足封闭性、结合律并且有幺元，则称G是一个含幺半群（Monoid）。
相比公式还是用代码表达更容易理解，下面表示一个半群(semigroup):
trait SemiGroup[T] {
def append(a: T, b: T): T
}
特质SemiGroup，定义了一个二元操作的方法append，可以对半群内的任意2个元素结合，且返回值仍属于该半群。
我们看具体的实现，一个Int类型的半群实例：
object IntSemiGroup extends SemiGroup[Int] {
def append(a: Int, b: Int) = a + b
}
// 对2个元素结合
val r = IntSemiGroup.append(1, 2)
现在在半群的基础上，再增加一个幺元(Identity，也翻译为单位元)，吐槽一下，幺元这个中文不知道最早谁起的，Identity能表达的意义(同一、恒等)翻译到中文后完全消失了。
trait Monoid[T] extends SemiGroup[T] {
// 定义单位元
def zero: T
}
上面定义了一个幺半群，继承自半群，增加了一个单位元方法，为了容易理解，我们用zero表示，半群里的任何元素a与zero结合，结果仍是a本身。
构造一个Int类型的幺半群实例：
object IntMonoid extends Monoid[Int] {
// 二元操作
def append(a: Int, b: Int) = a + b
// 单位元
def zero = 0
}
构造一个String类型的幺半群实例：
object StringMonoid extends Monoid[String] {
def append(a: String, b: String) = a + b
def zero = ""
}
再构造一个复杂点的 List[T] 的幺半群工厂方法：
def listMonoid[T] = {
new Monoid[List[T]] {
def zero = Nil
def append(a: List[T], b: List[T]) = a ++ b
}
}
OK,现在我们已经了解了幺半群是什么样了，但它有什么用？
http://hongjiang.info/semigroup-and-monoid/