Matlab的自相关函数xcorr

     最近因为工作的关系需要使用matlab作为数据统计的工具，其中一个关键是使用其自相关函数获得数据的估计。自己只在本科时候马马虎虎地学习了一点matlab，这次仗着有C/C++的基础迅速地过了一遍自己需要的matlab的语法，原来这门语言很像脚本啊，同Python一样都是弱类型的，语法也不严格。了解了语法大概后，立刻在Help?文档中查找xcorr函数，其介绍如下：

     看上去语法也不难，直接运算不就好了么？可是运算出来的结果自己却搞不懂，因为自己没有多少统计的知识，于是又去巴拉数学的材料，想去搞明白xcorr函数的原理或公式。最后还是去matlab论坛找到了自己想找的答案，这里就来分析下matlab的互相关函数xcorr。
     matlab中的参数都是以数组的形式存储的，标量可以看作是一维数组。我们采用序列x = [1, 3, 5]作为实验对象，经过xcorr()函数运算，分析结果：
1. xcorr()

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1. >> x = [1 3 5]
   
2. 
   
3. x =
   
4. 
   
5.      1 3 5
   
6. 
   
7. >> [a,b] = xcorr(x)
   
8. 
   
9. a =
   
10. 
    
11.      5 18 35 18 5
    
12. 
    
13. 
    
14. b =
    
15. 
    
16.     -2 -1 0 1 2
    
17. 
    
18. >>

      也许你对这个结果感到困惑，不急，待我慢慢道来。计算时先进行b的计算，用序列x中的元素的序号互相做减法，可以得到的所有值的可能集合，按照从小到大顺序排列后就得到了b；然后分别根据序号的“差”的情况计算序列a：
     当b(1)=-2时，只有数据(1, 5)作差可以得到，即序号1和序号3的差，因此计算a(1)=1*5=5；
     当b(2)=-1时，涉及到了序号对应的(3, 1)和序号(5, 3)，所以计算a(2)=3*1+5*3=18;
     当b(3)=0时，涉及到了序号对应的(1, 1), (3, 3)和(5, 5)，因此计算a(3)=1*1+3*3+5*5=35;
     当b(4)=1时，涉及到了序号对应的(3, 1)和(5, 3)，计算a(4)=3*1+5*3=18;
     当b(5)=2时，涉及到了序号对应的(5, 1)（后面的数据的序号减去前面数据的序号正好为2），计算a(5)=5*1=5

2. xcorr(x, 'unbiased')
     参数'unbiased'的作用在于基于缺省参数时的计算结果，每个组的计算再除上该组的序号组数，比如b(1)时组数为1，记为N=1，则a(1)=1*5/N=5；b(2)时就是a(2)=18/N=18/2=9;类似等等；

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1. >> [a, b] = xcorr(x, 'unbiased')
   
2. 
   
3. a =
   
4. 
   
5.     5.0000 9.0000 11.6667 9.0000 5.0000
   
6. 
   
7. 
   
8. b =
   
9. 
   
10.     -2 -1 0 1 2
    
11. 
    
12. >>

3. xcorr(x, 'biased')
     参数'biased'的作用在于缺省参数的基础上除以序列x的长度，即a(1)=5/3；比如：

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1. >> [a, b] = xcorr(x, 'biased')
   
2. 
   
3. a =
   
4. 
   
5.     1.6667 6.0000 11.6667 6.0000 1.6667
   
6. 
   
7. 
   
8. b =
   
9. 
   
10.     -2 -1 0 1 2
    
11. 
    
12. >>

4. xcorr(x, 'coeff')
     此时用于求序列x的自相关序列，其结果是针对'biased'的情况进行归一化，使得b=0时即中间的值a(3)=1，因此a(1)=5/11.6667，所有的分组数据在'biased'基础上都通过11.6667归一运算：

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1. >> [a, b] = xcorr(x, 'coeff')
   
2. 
   
3. a =
   
4. 
   
5.     0.1429 0.5143 1.0000 0.5143 0.1429
   
6. 
   
7. 
   
8. b =
   
9. 
   
10.     -2 -1 0 1 2
    
11. 
    
12. >>

      由于xcorr多用于工程上针对时间信号采样，但是计算时将采集到的数据一起送给matlab，因此matlab本身并不知道时间间隔，我们可以使用dt=0.1, t=b*dt，plot(t, a)进行作图，前半部分是超前，后半部分是滞后，如：