牛客小白月赛6 J洋灰三角 数学

链接：https://www.nowcoder.com/acm/contest/136/J
来源：牛客网

题目描述

    洋灰是一种建筑材料，常用来筑桥搭建高层建筑，又称，水泥、混凝土。

    WHZ有很多铸造成三角形的洋灰块，他想把这些洋灰三角按照一定的规律放到摆成一排的n个格子里，其中第i个格子放入的洋灰三角数量是前一个格子的k倍再多p个，特殊地，第一个格子里放1个。
    WHZ想知道把这n个格子铺满需要多少洋灰三角。

输入描述:

第一行有3个正整数n，k，p。

输出描述:

输出一行，一个正整数，表示按照要求铺满n个格子需要多少洋灰三角，由于输出数据过大，你只需要输出答案模1000000007(1e9+7)后的结果即可。

输入例子:

3 1 1

输出例子:

6

-->

示例1

输入

3 1 1

输出

6

说明

洋灰三角铺法：1 2 3，总计6个

示例2

输入

3 2 2

输出

15

说明

洋灰三角铺法：1 4 10，总计15个

示例3

输入

3 3 3

输出

28

说明

洋灰三角铺法：1 6 21，总计28个

备注:

对于100%的测试数据：
1 ≤ n ≤ 1000000000
1 ≤ k,p ≤ 1000

分析：
　　k=1时:
　　f(n)为等差数列，S(n)=n*(n-1)/2*p+n
　　k!=1时：
　　f(n) = k*f(n-1)+p 
　　S(n)=f(1)+f(2)+...+f(n)=1+k+k^2+...+k^(n-1)+k^(n-2)*p+2*k^(n-3)*p+...+(n-2)*k*p+(n-1)*p
　　=(k^n-1)/(k-1)+p*(k^n-1)/(k-1)^2-p*n/(k-1)=(1+p/(k-1))*(k^n-1)/(k-1)-p*n/(k-1)
S（n）求解过程：
第一部分S1=f(1)+f(2)+...+f(n)=1+k+k^2+...+k^(n-1)是个等比数列直接用等比数列求和公式求
后面一部分S2=k^(n-2)*p+2*k^(n-3)*p+...+(n-2)*k*p=p*(k^(n-2)+2*k^(n-3)+...+(n-2)*k)
考虑求g(n)=k^(n-2)+2*k^(n-3)+...+(n-2)*k
设f(n)=k^(n-1)+k^(n-2)+...+k^2
则f'(n)=(n-1)*k^(n-2)+(n-2)*k^(n-3)+...+2*k
所以：n*f(n)/k = n*k^(n-2)+n*k^(n-3)+...+n*k
所以：n*f(n)/k-f'(n)=k^(n-2)+2*k^(n-3)+...+(n-2)*k
即 g(n)=n*f(n)/k-f'(n)
f(n)的式子为等比数列可根据等比数列求和公式得出，f'(n)为f(n)的求导式
最后一部分：(n-1)*p
三部分相加就是S(n)的结果了

AC代码：

#include <map>

#include <set>

#include <stack>

#include <cmath>

#include <queue>

#include <cstdio>

#include <vector>

#include <string>

#include <bitset>

#include <cstring>

#include <iomanip>

#include <iostream>

#include <algorithm>

#define ls (r<<1)

#define rs (r<<1|1)

#define debug(a) cout << #a << " " << a << endl

using namespace std;

typedef long long ll;

const ll maxn = 1e6+10;

const ll mod = 1e9+7;

const double pi = acos(-1.0);

const double eps = 1e-8;

ll qow( ll a, ll b ) {

    ll ans = 1;

    while( b ) {

        if( b&1 ) {

            ans = ans*a%mod;

        }

        a = a*a%mod;

        b /= 2;

    }

    return ans;

}

int main() {

    ios::sync_with_stdio(0);

    ll n, k, p;

    while( cin >> n >> k >> p ) {

        if( k == 1 ) {

            cout << (n-1)*n/2*p+n << endl;

        } else {

            ll ans=(1+p*qow(k-1,mod-2)%mod)%mod*((qow(k,n)-1+mod)%mod)%mod*qow(k-1,mod-2)%mod;

            ans=(ans-p*qow(k-1,mod-2)%mod*n%mod+mod)%mod;

            cout << ans << endl;

        }

    }

    return 0;

}