一笔画问题

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难度:4
 
描述

zyc从小就比较喜欢玩一些小游戏,其中就包括画一笔画,他想请你帮他写一个程序,判断一个图是否能够用一笔画下来。

规定,所有的边都只能画一次,不能重复画。

 
输入
第一行只有一个正整数N(N<=10)表示测试数据的组数。
每组测试数据的第一行有两个正整数P,Q(P<=1000,Q<=2000),分别表示这个画中有多少个顶点和多少条连线。(点的编号从1到P)
随后的Q行,每行有两个正整数A,B(0<A,B<P),表示编号为A和B的两点之间有连线。
输出
如果存在符合条件的连线,则输出"Yes",
如果不存在符合条件的连线,输出"No"。
样例输入
2
4 3
1 2
1 3
1 4
4 5
1 2
2 3
1 3
1 4
3 4
样例输出
No
Yes
来源
[张云聪]原创

做这道题之前,我们先引入一个列题........

 在18世纪的哥尼斯堡城里有七座桥。当时 有很多人想要一次走遍七座桥,并且每座桥只能经过一次。这就是世界上很有名的哥尼斯堡七桥问题。你能一次走遍这七座桥,而又不重复吗?(自己动手画画吧)

nyoj-----42一笔画问题-LMLPHP

答案

  16.一笔画问题

  这个问题,实际上是一笔画问题。

  一笔画就是一笔可以画成一个图。

  判断一笔画的方法:

  ①是连通的。一个图,如果图上任意二点总有线段连接着,就称为连通的。不是连通的就不能一笔画出。

  ②奇点个数是0或者是2。图上线段的端点可以分成二类,奇点和偶数。一个点,以它为端点的线段数是奇数就称为奇点,线段数是偶数就称为偶点。

  一个图是否是一笔画就看奇点的个数,奇点个数是 0 或者 2,就是一笔画,否则就不是一笔画。

  哥尼斯桥问题,就是一笔画问题。但因A、B、C、D四个点都是奇点即奇点的个数是4,而不是0或2,所以不是一笔画,也就不能一次走遍,而又不重复。

 

针对这么个情况,所谓的连通图:

若无向图G是平凡图或者G中任意两点都是连通的,则称G是连通图,否则称G是非连通图。

关于弱连通图和强连通图:

弱连通图的概念是:如果略去D中各有向边的方向后所得无向图是连通图,则称D是弱连通图。

反之 若D中任何一对顶点都是互相可达的,则称D是强连通图。

所以这个问题完全可以转化策略为:

第一步: 首先我们不管它三七二十几,先进行连通性的判断。

第二步:

(1)如果是连通的,我们来判断此图的度的奇点的个数是0或者是2 ,如果是,则说明这个是欧拉图,即可以一笔画出,反之则不能一笔画出

(2)如果是非连通的,这说明这个图很定不能一笔画出。

代码为:

采用dfs算法求解:

 /*nyoj 42 coder Gxjun*/
/*一笔画问题*/
#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<stdlib.h>
#define maxn 1005
int edge[maxn]; //度
bool vis[maxn],map[maxn][maxn];
int pp , qq ;
void dfs( int pos )
{
vis[pos]=true;
for( int i=;i<=pp;i++)
if(!vis[i]&&map[pos][i])
dfs(i);
} int main()
{
int test ,i,j;
int x,y;
bool flag;
//freopen("test.in","r",stdin);
scanf("%d",&test);
while(test--){
memset(edge,,sizeof(edge));
memset(map,,sizeof(map));
memset(vis,,sizeof(vis));
scanf("%d%d",&pp,&qq);
for(i=;i<qq;i++){
scanf("%d%d",&x,&y);
map[y][x]=map[x][y]=;
edge[x]++;
edge[y]++;
}
dfs();
flag=true;
for(i=;i<=pp ;i++){
if(!vis[i]){
flag=false;
break;
}
}
if(flag)
{
int ans=;
for(i=;i<=pp;i++)
if(edge[i]&) ans++;
if( ans==||ans== )
puts("Yes");
else
puts("No");
}
else
puts("No");
}
return ;
}

采用并查集求解

代码:

 /*并查集 @coder Gxjun*/
/*一笔画问题*/
#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<stdlib.h>
#define maxn 1001
int rank[maxn],father[maxn];
int edge[maxn];
int pp,qq;
void init(){
for(int i=;i<=pp;i++){
father[i]=i;
rank[i]=;
}
}
int set_find(int a){ while(a!=father[a])
a=father[a];
return a;
}
//带状态压缩的并查集
void set_union(int x,int y){
int a = set_find(x);
int b = set_find(y);
if(a!=b){
if(rank[a]>rank[b]){
father[b]=father[a];
rank[a]+=rank[b];
}
else{
father[a]=father[b];
rank[b]+=rank[a];
}
}
} int main()
{
int test,i,j,x,y;
//freopen("test.in","r",stdin);
scanf("%d",&test);
while(test--){
scanf("%d%d",&pp,&qq);
memset(edge,,sizeof(edge));
init();
for(i=;i<qq;i++){
scanf("%d%d",&x,&y);
set_union(x,y);
++edge[x];
++edge[y];
}
for(i=;i<=pp;i++)
if(rank[i]==pp) break;
if(i<=pp)
{
int ans=;
for(j=;j<=pp;j++)
if(edge[j]&)ans++;
if(ans==||ans==) puts("Yes");
else puts("No");
}
else puts("No");
}
return ;
}
05-11 13:57